(а) Покупка опциона колл

(б) Продажа опциона -колл -

Цена акции по истечении

Цена акции по истечении

(в) Покупка опциона пут

(г) Продажа опциона -пут

Цена акции по истечении

(д) Покупка опционов пут и колл (те. стеллаж )

(ж) Покупка акции

Цена акции по истечении

(е) Продажа опциона пут и,<-кол (т.е. стеллаж )

Величина премии по опционам колл и пут

Цена акции по истечении

(з) Короткая продажа акции

Цена акции по истечении

{и) Покупка акции и продажа опциона копя

Цена акции по истечении

(к) Короткая продажа акции и покупка опциона колл

Цена акции по истечении

Величина премии плюс

дивиденды

Рис. 20.4. Выигрыши и потери при различных стратегиях

Если премия опционов колл и пут , показанных на рис. 20.3, равна $5, то линии выигрышей будут графиками следующих двух уравнений:

тт. = max {-$5, Р. - $100 - $5} = С = max {-$5, р\ - $105} .

тт. = max {-$5, $100 - Р - $5} = = max {-$5, $95 - PJ .

Поэтому ломаная линия для опциона колл будет горизонтальной прямой, пересекающей вертикальную ось в точке -$5, с переломом в точке курса акции $100, где она поворачивает вверх и пересекает горизонтальную ось в точке $105. Это означает, что покупатель опциона колл не получит выигрыш, пока курс акции к дате истечения не превысит $105. Каждый доллар, превышающий $105, представляет собой дополнительный доллар выигрыша. (Так, при цене $108 выигрыш составит $3, так как покупатель опциона колл платит премию в $5 и цену исполнения $100, чтобы получить акцию, которая стоит $108).

Аналогично, ломаная линия опциона пут направлена вниз и имеет перелом в точке, где курс акции равен $100, а горизонтальную ось пересекает в точке $95. В точке перелома линия приобретает горизонтальное направление. Если данную линию продолжить в левую сторону, то она пересечет вертикальную ось в точке - $5. Это означает, что покупатель опциона пут не получит выигрыш до тех пор, пока курс акции к моменту истечения не упадет ниже $95. Каждый последующий доллар ниже курса акции в $95 представляет собой дополнительный выигрыш. (Так, при цене $92 выигрыш равен $3, поскольку покупатель опциона платит премию в $5 за право получить акцию за $100, которая стоит $92.)

Части рис. 20.4 (б) и (г) представляют собой зеркальное отражение частей (а) и (в). Опционы - это игра с нулевой суммой, где выигрыши одной стороны возникают за счет другой, поэтому, если цена акции равна $108, то покупатель опциона колл получит выигрыш в $3, а продавец опциона колл будет иметь проигрыш в $3 (продавец получает премию в $5 и $100 в качестве цены исполнения, но должен поставить акцию стоимостью в $108). Аналогично, если покупатель опциона пут выигрывает $3, то продавец опциона пут проигрывает $3.

20.5.3 Выигрыши и потери при использовании отдельных опционных стратегий

Части (д) и (е) рис. 20.4 представляют более сложную опционную стратегию, которая называется стеллаж (straddle). Она включает покупку (или продажу) одновременно опционов колл и пут на одну и ту же акцию, при этом опционы имеют одинаковую цену исполнения и дату истечения8. Обратите внимание на то, что часть (д) можно получить, совместив выигрыши и потери, представленные в частях (а) и (в), а рис. (е) можно получить, совместив выигрыши и потери, представленные на рис. (б) и (г). Также видно, что части (д) и (е) являются зеркальными отражениями друг друга, подчеркивая тот факт, что выигрыши покупателей являются проигрышами продавцов и наоборот.

На рис. 20.4 (ж) представлены выигрыши и потери инвестора, который не использует опционы, а покупает базисную акцию (за $100) в тот же момент времени, когда другие лица покупают или продают опционы, и продает акцию в момент истечения опциона. Если предположить, что в этот период времени дивиденды отсутствуют, то результат будет представлен сплошной линией9. Аналогично, на рис. 20.4 (з) представлены выигрыши и проигрыши инвестора, который прибегает к короткой продаже акции в начальный момент и выкупает ее на дату истечения.

На рис. 20.4 (и) представлен результат для инвестора, который покупает акцию и одновременно выписывает на нее опцион колл . Данный результат можно получить,

если совместить выигрыши и потери, показанные на рис. 20.4 (б) и (ж).Как мы уже отметили выше, такой инвестор выписал покрытый опцион. Напротив, продавец, который не располагает базисным активом, как это показано в части (б) рисунка, выписал непокрытый опцион.

На рис. 20.4(к) представлен результат инвестора, который совершил короткую продажу акции и одновременно купил опцион колл . Такой результат можно получить, объединив выигрыши и потери, показанные в частях (а) и (з). Обратите внимание на то, что часть (з) является зеркальным отражением части (и).

Сравнивая графики на рис. 20.4, мы видим, что одинаковые результаты можно получить с помощью альтернативных стратегий. Части (в) и (к) рис. 20.4 одинаковы, так же, как и части (г) и (и). Причем даже нет необходимости, чтобы в каждом случае премии и первоначальные инвестиции были одинаковыми. Тем не менее одинаковые результаты, полученные за счет использования различных наборов инструментов, предполагают, что общая рыночная стоимость этих наборов будет одинаковой.

После того как мы рассмотрели вопрос, касающийся стоимости опционов (и опционных стратегий) при истечении, следует ответить на вопрос об их стоимости до момента истечения. Другими словами, какова действительная (или настоящая) цена опциона сегодня, если он истекает в некоторый момент времени в будущем? Чтобы ответить на этот вопрос, воспользуемся биноминальным методом оценки стоимости опциона. Он рассматривается ниже.

Биноминальная модель оценки стоимости опциона

Для оценки стоимости опциона колл или пут можно использовать биноминальную модель оценки стоимости опциона (ВОРМ). Лучше всего представить ее на примере европейского опциона (European option), т.е. опциона, который может быть исполнен только в день его истечения. В этом случае мы предполагаем, что по базисной акции не выплачиваются дивиденды в течение срока действия опциона. Модель также можно модифицировать для оценки стоимости американского опциона (American option), т.е. опциона, который можно исполнить в любое время в течение срока действия опциона. Модель также можно использовать для оценки стоимости опционов на акции, по которым выплачиваются дивиденды в течение срока опционного контракта.

20.6.1 Опционы колл

Предположим, что цена акции компании Widget сегодня (г= 0) равна $100, а через год (t = 7) эта акция будет стоить $125 или $80, т.е. цена акции за год или поднимется на 25%, или упадет на 20%. Кроме того, непрерывно начисляемая ставка без риска в расчете на год равна 8%. Предполагается, что инвесторы могут предоставлять кредит (покупая 8%-ные облигации) и занимать средства (осуществляя короткие продажи облигаций) под данный процент.

Рассмотрим опцион колл на акции компании Widget с ценой исполнения $100 и датой истечения через год. Это означает, что на дату истечения стоимость опциона колл составит или $25 (если акция Widget стоит $125), или $0 (если акция Widget стоит $80). На рис. 20.5 (а) данная ситуация представлена с помощью дерева цены . Это дерево позволяет понять, почему модель называется биноминальной, поскольку оно имеет только две ветви , которые показывают цены на дату истечения.

Оценка стоимости

Если надо узнать, чему равна внутренняя (действительная) стоимость опциона в момент времени 0, то для ответа на этот вопрос используется биноминальная модель оценки стоимости опциона.

Мы располагаем тремя возможностями делать инвестиции: вложить средства в акцию, опцион и облигацию без риска. Цены и результаты операции с акцией известны.