Также известно, что $100 инвестируются в безрисковую облигацию, стоимость которой вырастет приблизительно до $108,33 с учетом непрерывно начисляемого процента, равного 8% годовых10. Наконец, известны результаты опционной операции в конце периода. Требуется определить цену продажи опциона в настоящий момент.

Рис. 20.5. Биноминальная модель оценки стоимости акций компании Widget

Ключом к пониманию ситуации служит замечание о том, что возможны два положения вещей в будущем. Курс акции может пойти вверх или вниз. Для краткости назовем эти два состояния соответственно верхнее положение и нижнее положение . Основные данные приводятся ниже:

Ценная Выплаты в верхнем Выплаты в нижнем Текущий

бумага положении положении курс

Акция $125,00 $80,00 $100,00

Облигация $108,33 $108,33 $100,00

Опцион колл $25,00 $0,00 ???

Обратите внимание на то, что в нашей ситуации текущий курс опциона колл не известен.

Моделирование портфелей с одинаковыми характеристиками

Несмотря на то что опцион колл на акции компании Widget может показаться несколько необычным инструментом, его характеристики можно воспроизвести за счет комбинации акций компании Widget и безрисковых облигаций. Более того, стоимость воспроизведенного портфеля составляет действительную стоимость опциона. Почему? Потому что в противном случае возникнет возможность совершить арбитражную операцию - инвестор может купить наиболее дешевый из двух альтернативных портфелей и продать более дорогой из них и таким образом получить гарантированный доход. (Как это сделать, будет показано ниже.)

Сначала необходимо определить состав портфеля, который точно повторит выплаты по опциону колл на акции компании Widget. Рассмотрим портфель из /V, акций

компании Widget и Nb безрисковых облигаций. В верхнем положении такой портфель принесет выплаты в размере $125 j¥5 + $108,ЗЗЛ, в нижнем положении выплаты составят $80jV, + $108,337V4. В верхнем положении опцион стоит $25. Таким образом, Ns и Nb должны иметь такую стоимость, чтобы:

$125N + $108,ЗЗЛГ4 = $25 . (20.3а)

С другой стороны, в нижнем положении опцион ничего не стоит. Таким образом, Ns и Nb должны иметь такую стоимость, чтобы:

$80ЛГ + $108,ЗЗЛГ, = $0 . (2036)

В приведенных линейных уравнениях (20.3а) и (20.36) имеются два неизвестных и они могут быть легко определены. Вычитая второе уравнение из первого, получим:

($125 - $80)W = $25 , (20.3в)

откуда Ns равно 0,5556. Подставив данное значение в уравнение (20.3а) или уравнение (20.36), получим значение Nb = -0,4103.

Что это означает на финансовом языке? Это значит, что инвестор может воспроизвести платежи по опциону колл , осуществив короткую продажу безрисковой облигации за $41,03 (заметьте, что инвестирование 0,4103 в 100-долларовую облигацию эквивалентно короткой продаже облигации за $41,03 или получение кредита в размере $41,03 по ставке без риска) и купив 0,5556 акций компании Widget. Что это действительно так, можно увидеть из нижеследующего:

Состав Выплата Выплата

портфеля в верхнем положении в нижнем положении

Инвестиции в акции 0,5556 х $125 = 0,5556 х $80 =

= $69,45 = $44,45

Выплата займа -$41,03 х 1,0833 = -$41,03 х 1,0833 =

= -$44,45 = -$44,45

Чистая выплата $25,00 $0,00

Так как воспроизведенный портфель обеспечивает те же выплаты, что и опцион колл , то для определения действительной стоимости опциона необходимо определить его стоимость. Чтобы сформировать портфель, надо затратить $55,56 на покупку 0,5556 акций компании Widget (по цене $100 за акцию). Кроме того, $41,03 получается от короткой продажи облигации. Таким образом, требуется только $14,53 ($55,56 -$41,03) собственных средств инвестора. Следовательно, это и есть действительная стоимость опциона колл .

В общем виде, стоимость опциона колл будет равна:

у = Nps + > (20.4)

где V0 - стоимость опциона; Ps - цена акции; Рь - цена безрисковой облигации; Ns и Nb - число акций и безрисковых облигаций, позволяющих воспроизвести выплаты по опциону.

Переоценка стоимости опциона

Чтобы показать, что при цене опциона в $14,53 будет наблюдаться равновесное положение, посмотрим, что может сделать опытный инвестор, если опцион колл продается по более высокой или низкой цене. Предположим, опцион колл продается за $20, т.е. он переоценен. В этом случае инвестор решит выписать опцион, купив 0,5556 акций и заняв $41,03. Получаемая сумма в этом случае (т.е. для t = 0) составит $5,47 [$20 - (0,5556 х $100) + $41,03], что показывает чистый приток средств для инвестора. В конце года (т.е. для t = 7) инвестор получит следующие средства:

Состав Выплвта Выплата

портфеля в верхнем положении в нижнем положении

Продажа опциона -25,00 0,00

Инвестиции в акции 0,5556 х $125 = 0,5556 х $80 =

= $69,45 = $44,45 Возврат займа -$41,03 х 1,0833 = -$41,03 х 1,0833 = = -$44,45 = -$44,45

Чистые выплаты $0,00 $0,00

Так как независимо от окончательной цены акции общая стоимость равна нулю, то при осуществлении данной стратегии риск для инвестора отсутствует. Таким образом, инвестор имеет возможность получать свободные средства до тех пор, пока опцион колл стоит $20, так как инвестиционная стратегия не требует в последующем от инвестора больше никаких затрат. Подобная ситуация не может быть равновесной, так как в этом случае любое лицо может получить свободные деньги аналогичным образом.

Недооценка стоимости опциона

Представим теперь, что опцион колл продается за $10 вместо $20, т.е. он недооценен. В этом случае инвестор решит купить один опцион колл , получив средства от короткой продажи 0,5556 акций, и инвестировать $41,03 под безрисковую ставку. Чистая денежная сумма после этого (т.е. для t- 0) составит $4,53 [-$10 + (0,5556 х $100) - $41,03]. Это означает, что инвестор получит чистый приток денежных средств. В конце года (т.е. для t = 7) инвестор получит следующие средства:

Состав Выплата Выплата

портфеля в верхнем положении в нижнем положении

Инвестиции в 25,00 0,00 опцион колл

Возврат средств по -0,5556 х $125 = -0,5556 х $80 =

короткой продаже = -$69,45 = -$44,45 акций

Безрисковое $41,03 х 1,0833 = $41,03 х 1,0833 =

инвестирование = $44,45 = $44,45

Чистые выплаты $0,00 $0,00

И снова независимо от итогового курса акции общая стоимость портфеля равна нулю. Это означает, что при осуществлении данной стратегии для инвестора отсутствует риск потерь. Таким образом, инвестор имеет возможность получать свободные деньги до тех пор, пока опцион колл стоит $10. Такая ситуация не может быть равновесной, поскольку любое лицо может получить свободные средства аналогичным образом.

Коэффициент хеджирования

Допустим, что мы занимаем $41,03 и покупаем 0,5556 акций компании Widget и, таким образом, воспроизводим опцион колл на эти акции. Теперь рассмотрим то влияние, которое окажет на стоимость воспроизведенного портфеля изменение курса акций завтра (а не через год). Так как в портфель входит 0,5556 акций, то стоимость портфеля изменится на $0,5556 при изменении курса акций Widget на $1. Но так как опцион колл и портфель должны продаваться по одной цене, то цена опциона колл также должна измениться на $0,5556 при изменении курса акции на $1. Данная взаимосвязь называется коэффициентом хеджирования (hedge ratio) опциона. Он равен числу Ns, которое было определено в уравнении (20.3в).

Для опциона колл на акции компании Widget коэффициент хеджирования составлял 0,5556, что равно ($25 - $0)/($ 125 - $80). Обратите внимание на то, что чис-