литель равен разности между выплатами по опциону в верхнем и нижнем положениях, а знаменатель - разности между выплатами по акции в этих двух положениях. В общем виде в биноминальной модели:

(20.5)

где Р - это цена в конце периода, а индексы обозначают инструмент (о - опцион, s - акция) и положение (и - верхнее , d - нижнее ).

Чтобы воспроизвести опцион колл в условиях биноминальной модели, необходимо купить h акций [где h - коэффициент хеджирования из уравнения (20.5)]. Одновременно необходимо получить под ставку без риска средства путем короткой продажи облигации. Эта сумма равна:

где PV - дисконтированная стоимость суммы, указанной в скобках. (Обратите внимание на то, что величина в скобках - это стоимость облигации в конце периода.)11 В итоге стоимость опциона колл равна:

где h и В - это коэффициент хеджирования и текущая стоимость короткой позиции по облигации в портфеле, который воспроизводит выплаты по опциону колл ; они рассчитываются с помощью уравнений (20.5) и (20.6)

Больше чем два значения курса акции

Вполне резонно усомниться в точности модели ВОРМ, когда она основана на предположении, что курс акции компании Widget может принимать в конце года только одно из двух значений. В действительности курс акции Widget может принять в конце года любое из множества значений. Однако это не создает проблемы, так как мы можем развить модель.

Для рассматриваемого случая с акциями компании Widget разделим год на два периода по шесть месяцев. Предположим, что за первый период курс акции Widget может подняться до $111,80 (рост на 11,80%) или снизиться до $89,44 (падение на 10,56%). За следующие шесть месяцев курс акции Widget может вновь или возрасти на 11,80%, или уменьшиться на 10,56%. Таким образом, курс акции Widget будет изменяться в соответствии с одним из направлений дерева цены на рис. 20.5(6) за следующий год. Обратите внимание на то, что теперь акция Widget может в конце года иметь один из следующих курсов: $125, $100 или $80. На рисунке также приводится соответствующая стоимость опциона для каждого значения курса акции.

Как по данным рисунка можно определить стоимость опциона колл на акции компании Widget в момент времени 0? Ответ весьма прост. Изменение состоит лишь в том, что проблема разбита на три части, каждая из которых решается таким же образом, как было показано ранее при обсуждении рис. 20.5(a). Три части должны рассматриваться последовательно в обратном порядке.

Во-первых, представим, что прошло шесть месяцев и курс акции Widget равен $111,80. Какова стоимость опциона колл в данном узле дерева цены ? Коэффициент хеджирования И составит 1,0 [($25 - $0)/($125 - $100], а величина заимствования Сбудет равна $96,08 [(1 х $100 - $0)/1,0408]. (Непрерывно начисляемая ставка без риска соответствует дискретной ставке 4,08% для шестимесячного периода.) Из формулы (20.7) стоимость опциона колл составит $15,72 (1 х $111,80 - $96,08).

Во-вторых, вновь представим, что прошло шесть месяцев, но курс акции Widget равен $89,44. Хотя можно было бы воспользоваться для определения курса опциона колл в данном узле дерева цены формулами (20.5), (20.6) и (20.7), интуиция под-

B = PV(hP-PJ,

(20.6)

Vo=hPs - В,

(20.7)

сказывает более быстрый ответ: опцион должен продаваться за $0. Так получается потому, что через шесть месяцев акция Widget будет стоить или $100, или $80. Но независимо от уровня курса акции опцион не будет стоить ничего. То есть если через шесть месяцев курс акции равен $89,44, то инвесторы поймут, что опцион колл в конце года не будет стоить ничего, и поэтому не станут за него платить.

В-третьих, представим, что время еще не прошло, т.е. сейчас момент времени 0. В этом случае дерево цены можно упростить до следующего вида:

<$111,80 Р= $15,72 $89,44 Ро = $0

Из уравнений (20.5) и (20.6) следует, что коэффициент хеджирования h равен 0,7030 [($15,72 - $0)/($111,80 - $89,44)] и сумма займа В составляет $60,41 [(0,7030 х $89,44 -- $0)/1,0408]. Применяя уравнение (20.7), получаем стоимость опциона колл в момент t = 0. Она равна $9,89 (0,7030 х $100 - $60,41).

На этом можно не останавливаться. Вместо рассмотрения двух шестимесячных периодов можно проанализировать квартальные или 12-месячные периоды. Обратите внимание на то, что число значений курса акции Widget ъ конце года превышает число рассматриваемых за год периодов на единицу. Таким образом, когда на рис. 20.5(a) рассматривались годичные периоды, то в конце года было два значения курса. Когда мы использовали курсы за полгода, то в конце года было три курса. Отсюда следует, что при квартальных или месячных периодах в конце года соответственно будет 5 или 13 значений курса.

20.6.2 Опционы пут

Можно ли использовать модель ВОРМ для оценки стоимости опционов пут ? Так как формулы охватывают любой набор выплат, то их можно использовать для этой цели. Рассмотрим еще раз акции компании Widget ъ случае годичного периода, при этом цена исполнения опциона пут - $100, дата истечения - один год с сегодняшнего числа. Дерево цены будет выглядеть следующим образом:

<$125 =$0

$80 Р = $20

Уравнение (20.5) дает коэффициент хеджирования для опциона пут -0,4444 [($0 - $20)/ /($125 - $80)]. Обратите внимание на то, что это отрицательная величина. Она означает, что повышение курса акции приведет к уменьшению цены опциона.

Уравнение (20.6) показывает, что Я равно - $51,28. Это - дисконтированная стоимость величины, которая в конце года составляет - $55,55. Так как это отрицательные величины, то они означают сумму, которую надо заплатить за облигации (т. е. отрицательная стоимость короткой позиции может рассматриваться как стоимость длинной позиции).

Чтобы воспроизвести опцион пут , следует осуществить короткую продажу 0,4444 акций Widget и предоставить кредит (т.е. инвестировать в безрисковую облигацию) $51,28. Так как короткая продажа принесет $44,44, а за облигацию будет уплачено $51,28, то чистая стоимость воспроизведения портфеля составит $6,84 ($51,28 - $44,44). Таким образом, это и есть действительная цена опциона пут .

Это та же цена, что и полученная из уравнения (20.7): $6,84 [0,4444 х $100 - (-$51,28)], где И = 0,4444, В = -$51,28 и Ps = $100. Таким образом, уравнения (20.5), (20.6) и (20.7) можно использовать не только применительно к опционам колл , но также и по от-

ношению к опционам пут . Кроме того, аналогична и процедура определения стоимости опциона пут в случае, когда между начальной датой и датой истечения лежит больше, чем один период.

20.6.3 Паритет опционов пут и колл

Выше было показано, что опцион колл на акции компании Widget имеет коэффициент хеджирования 0,5556. Обратите внимание на то, что коэффициент хеджирования для опциона пут равен 0,5556 - 1 = -0,4444. Это не совпадение. Коэффициенты хеджирования европейских опционов пут с одинаковой ценой исполнения и датой истечения связаны следующим образом:

h - l=h

(20.8)

где hc и hp означают соответственно коэффициенты хеджирования опционов колл и пут .

Еще более интересной представляется взаимосвязь рыночных цен опционов колл и пут на одну и ту же акцию с единой ценой исполнения и датой истечения. Вновь рассмотрим пример с опционами на акции Widget с ценой исполнения $100 и датой истечения через год. Необходимо сравнить две инвестиционные стратегии. Стратегия А включает покупку опциона пут и акции. (Такую стратегию иногда называют защитный пут , или обрученный пут ). Стратегия В включает покупку опциона колл и инвестирование части средств, равной дисконтированной величине цены исполнения, в безрисковую облигацию.

Стоимость данных инвестиционных стратегий на дату истечения можно рассмотреть, исходя из двух сценариев развития: курс акции Widget ниже цены исполнения $100, курс акции Widget выше цены исполнения. (Случай, когда она равна цене исполнения, можно добавить к любому из двух вариантов, при этом результаты будут прежними.) Это показано в табл. 20.1. Обратите внимание, что если акция Widget на дату истечения стоит меньше, чем цена исполнения $100, то стратегии принесут выплаты в размере $100. Соответственно если цена акции Widget выше $100, то инвесторы будут располагать акцией, которая стоит больше $100. Таким образом, так как обе стратегии дают одинаковые результаты, то в условиях равновесия их стоимость должна быть одинаковой:

Рр + Pt = Pc + Е/еЛ\ (20.9)

где Рр и Рс - соответственно текущий рыночный курс опционов пут и колл .

Данное уравнение представляет паритет опционов пут и колл (put-callparity). Из табл. 20.1 видно, что стоимость каждой стратегии равна $106,84, как и предполагалось ранее уравнениями (20.5), (20.6) и (20.7).

Таблица 20.1

Паритет опционов пут и колл на акции компании Widget

Стратегия

A. Покупка опциона пут

Покупка акции

B. Покупка опциона колл> Инвестирование дисконтированной стоимости Е

в безрисковый инструмент

Начальная стоимость

Р + Ps = = $6,84 + $100 = = $106,84

Р0 + Е/е RT = $14,53 + $92,31 = = $106,84

Стоимость на дату истечения

Р,<Е= $100

Исполнение опциона пут , получение $100

Отказ от исполнения опциона колл , получение $100 от безрискового инструмента

Е= $100 > Ps

Отказ от исполнения опциона пут , наличие акции стоимостью Ps

Исполнение опциона колл , получение акции стоимостью Р.