ФАЯ Модель Блэка-Шоулза для опционов колл

Рассмотрим, что произойдет с биноминальной моделью оценки стоимости опциона, если число периодов до даты истечения возрастет. Например, для опциона на акции компании Widget с истечением через год можно построить дерево цены с числом периодов, равным числу торговых дней в году, которых насчитывается приблизительно 250. Таким образом, в конце года для акций Widget будет существовать 251 возможная цена. Нет необходимости говорить, что действительная цена любого опциона колл для такого дерева быстро определяется компьютером по такому же принципу, как было показано выше для акций компании Widget. Если число периодов еще более увеличить, считая каждый час торгового дня, тогда они будут насчитывать порядка 1750 (7х 250) часовых периодов (что соответствует 1751 возможной цене в конце года). Обратите внимание на то, что число периодов в году возрастает при уменьшении продолжительности каждого периода. Максимально возможным будет бесчисленное количество бесконечно малых периодов (и соответственно бесконечное число возможных курсов в конце года). В таком случае модель ВОРМ, представленная уравнением (20.7), превращается в модель Блэка-Шоулза, названную так в честь ее авторов12.

20.7.1 Ограничения применения модели Блэка-Шолеса

Во-первых, данная модель будет иметь ограниченное применение, так как почти все опционы в Соединенных Штатах являются американскими, т.е. могут быть исполнены в любой момент времени до даты истечения, тогда как модель Блэка-Шоулза применима только для европейских опционов. Строго говоря, модель применима только к опционам на акции, по которым не выплачиваются дивиденды в течение срока действия опциона. Однако по большинству обыкновенных акций, на которые выписываются опционы, в действительности выплачиваются дивиденды.

Первый недостаток модели Блэка-Шоулза - применимость только для европейских опционов - можно обойти довольно легко, если это опцион колл на акции, по которым не выплачиваются дивиденды. Можно показать, что инвестору, купившему американский опцион колл на акции, по которым не выплачиваются дивиденды, бессмысленно исполнять такой опцион до даты истечения . Так как нет смысла исполнять такой опцион до даты истечения, то сама возможность исполнения значения не имеет. Следовательно, не будет различий в ценах американского и европейского опционов колл . В свою очередь, это означает, что модель Блэка-Шоулза может быть использована для действительной оценки стоимости американских опционов колл на акции, по которым не выплачиваются дивиденды.

Это можно наглядно увидеть на рис. 20.6, однако прежде введем новую терминологию. Опцион колл называют опционом без выигрыша (at the money), если рыночная цена базисного актива примерно равна цене исполнения опциона колл . Если цена актива ниже цены исполнения, то такой опцион называют опционом с проигрышем (out of the money). Если рыночная цена выше цены исполнения, то опцион именуют опционом с выигрышем (in the money). Иногда используют еще более точные характеристики, например, можно услышать такие определения, как около выигрыша , с большим выигрышем или с большим проигрышем .

Как было отмечено выше, стоимость опциона при немедленном исполнении называется его внутренней стоимостью. Эта стоимость равна нулю для опциона без выигрыша. Если опцион с выигрышем, то стоимость равна разности между ценой актива и ценой исполнения. Превышение цены опциона над его внутренней стоимостью называют временной стоимостью (time value) (или временной премией). Как видно из рис. 20.3(a), временная стоимость опциона колл на дату истечения равна нулю. Тем не менее до этого момента временная стоимость является положительной величиной.

Обратите внимание на то, что премия опциона колл - это просто сумма внутренней и временной стоимостей.

Для инвестора, собирающегося исполнить опцион колл на акции, по которым не выплачиваются дивиденды, до даты его истечения всегда дешевле продать опцион и купить акции на рынке. Дело в том, что в результате исполнения опциона колл инвестор теряет временную стоимость опциона (поэтому существует выражение - опционы колл стоят больше, когда живы, чем когда умерли ).

Например, рассмотрим актив, текущая цена которого равна $110. Если опцион колл на данный актив имеет цену исполнения $100 и продается за $14, то внутренняя и временная стоимости составят соответственно $10 ($110 - $100) и $4 ($14 - $10). Держатель данных опционов мог бы исполнить их, затратив дополнительно $100. Однако инвестору было бы дешевле получить акцию, продав опцион колл и купив акцию на рынке, поскольку дополнительные расходы составили бы только $96 ($110 - $14).

Второй недостаток модели Блэка-Шоулза - применимость только в отношении бездивидендных акций - нельзя легко отбросить, так как большое число опционов выписывается на акции, по которым выплачиваются дивиденды в течение срока действия опциона. Чтобы использовать данную формулу для оценки стоимости опциона на такие акции, в нее были внесены некоторые изменения14.

20.7.2 Формула

В условиях отсутствия налогов и трансакционных издержек стоимость опциона колл можно оценить, воспользовавшись формулой, предложенной Блэком и Шоулзом. Она часто применялась теми, кто пытался обнаружить ситуации, когда рыночная цена опциона серьезно отличается от его действительной цены. Опцион, который продается по существенно более низкой цене, чем полученная по формуле Блэка-Шоулза, является кандидатом на покупку; и наоборот, - тот, который продается по значительно более высокой цене, - кандидат на продажу. Формула Блэка-Шоулза для оценки действительной стоимости опциона Vc имеет следующий вид:

K=N(d,)P1--rN(d2) (20Ш)

\п(Р /Е) +(R + 0,5ст2)Т

d,=-=- = (20.11)

су Т

\п(Р/Е) +(R- 0,5a2)Т

di=-т=- = (20.12а)

су Т

= dl-ofT, (20.126)

где Ps- текущая рыночная цена базисного актива;

Е - цена исполнения опциона;

R - непрерывно начисляемая стаека без риска в расчете на год;

Т - время до истечения, представленное в долях в расчете на год;

а - риск базисной обыкновенной акции, измеренный стандартным отклонением доходности акции, представленной как непрерывно начисляемый процент в расчете на год.

Обратите внимание на то, что E/eRT - это дисконтированная стоимость цены исполнения на базе непрерывно начисляемого процента. Величина In (PJE) - это натуральный логарифм PJE. Наконец, N(d,) и N(d]) обозначают вероятности того, что при нормальном распределении со средней, равной 0, и стандартным отклонением, равным 1, результат будет соответственно меньше d, и d2.

В табл. 20.2 представлены значения N(d,) для различных значений d,l$. Для определения стоимости опциона колл с использованием формулы Блэка-Шоулза нужна только данная таблица и карманный калькулятор. Следует обратить внимание на то, что в данной формуле ставка процента R и стандартное отклонение актива о предполагаются постоянными величинами на протяжении всего времени действия опциона. (Недавно были разработаны формулы, в которых данные условия были сняты.)

Например, рассмотрим опцион колл , который истекает через три месяца и имеет цену исполнения $40 (таким образом, Т= 0,25 и Е= 40). Кроме того, текущий курс и риск базисной обыкновенной акции составляют соответственно $36 и 50%, а ставка без риска равна 5% (таким образом, Ps = 36, R = 0,05 и о = 0,50).

Решение уравнений (20.11) и (20.126) дает следующие значения d, и d2:

ln(36/40) + [0,05 + 0,5(0,50)2] 0,25

dx =-= -0,25;

0,50 V0,25

d2 = -0,25 - 0,50 V0,25 = -0,50. Воспользуемся теперь табл. 20.2 для получения значений N(d,) и N(d2).

N(dt) = N(-0,25) = 0,4013; N(d2) =N(-0,50) = 0,3085.

Наконец, используем уравнение (20.10) для определения действительной стоимости опциона колл :

V =(0,4013 х $36) -

0.05x0,25 л тлог

е х 0,3085

= $14,45 - $12,19 = $2,26.

Если в настоящий момент этот опцион продается за $5, то инвестору следует подумать, не выписать ли несколько опционов. Так как они переоценены (согласно модели Блэка-Шоулза), то можно предположить, что в ближайшем будущем их цена упадет. Таким образом, продавец получит премию $5 и сможет рассчитывать на закрывающую позицию покупку по более низкой цене, что принесет ему доход от разницы цен. Напротив, если опцион колл продается за $1, то инвестору следует купить его. Так как он недооценен, то можно ожидать роста его стоимости в будущем.