Таблица 20.2

Величина N(d) для отдельных значений d

20.7.3 Сравнение с моделью ВОРМ

Теперь можно сравнить формулу ВОРМ (данную в уравнении (20.7), где V0 обозначено как Vc] с формулой оценки стоимости опциона Блэка-Шоулза [данной в уравнении (20.10)]:

V = АР - В;

(20.7)

Уе-т,)Р,-£т,). (20]0)

При сравнении этих двух уравнений мы видим, что величина N(d,) в уравнении (20.10) соответствует И в уравнении (20.7). Так как h - это коэффициент хеджирования, то величину N(d,) в формуле Блэка-Шоулза можно объяснить аналогичным образом. То есть она показывает количество акций, которое инвестору следует купить, чтобы получить такие же выплаты, как и по опциону колл . Аналогично величина EN(d2)/e,-T соответствует В. При этом В - это сумма средств, которую инвестор занимает, осуществляя данную стратегию, т.е. величина ENfdJ соответствует номиналу займа, поскольку его сумма должна быть возвращена кредитору в момент Г - дату истечения. Поэтому eRT - это коэффициент дисконтирования, указывающий на то, что ставка процента по займу составляет Л и он предоставляется на период Т. Таким образом, сложная на первый взгляд формула Блэка-Шоулза может получить простое объяснение. Она позволяет рассчитать стоимость инвестиционной стратегии (покупки акций и получения кредита), которая приносит в момент Гтакие же выплаты, как и опцион колл .

В нашем примере N(dj) было равно 0,4013 и ENfd/e*1 составляло $12,19. Таким образом, инвестиционная стратегия, выражающаяся в покупке 0,4013 акций и займе $12,19 в момент времени 0, принесет точно такие же выплаты, как и покупка опциона колл 16. Поскольку данная стратегия стоит $2,26, то в состоянии равновесия рыночная цена опциона колл должна быть также равна $2,26.

20.7.4 Статический анализ

Тщательный анализ формулы Блэка-Шоулза позволяет обнаружить некоторые интересные особенности ценообразования для европейского опциона колл . В частности, действительная стоимость опциона колл зависит от пяти переменных - рыночной стоимости обыкновенной акции Ps, цены исполнения опциона Е, времени до даты истечения Т, ставки без риска R и риска обыкновенной акции о . Что произойдет с действительной ценой опциона колл при изменении одной из переменных, когда остальные четыре сохраняют свои значения?

1. Чем выше цена базисной акции Р тем больше стоимость опциона колл .

2. Чем выше цена исполнения Е, тем меньше стоимость опциона колл .

3. Чем больше времени до даты истечения 7 , тем больше стоимость опциона колл .

4. Чем выше ставка без риска R, тем больше стоимость опциона колл .

5. Чем больше риск обыкновенной акции, тем больше стоимость опциона колл .

Из перечисленных пяти переменных первые три (Ps, Е и 7) определить легко. Для оценки четвертой переменной - ставки без риска R - часто используют доходность к погашению казначейского векселя, дата погашения которого близка к дате истечения опциона. Пятую переменную - риск базисного актива с - нельзя получить сразу. Поэтому для его оценки предлагается несколько методов. Два из них мы приводим ниже.

20.7.5 Оценка риска акции на основе динамики предыдущих цен

Один из методов оценки риска базисной обыкновенной акции для определения стоимости опциона колл включает анализ динамики цен за предыдущие периоды. Сначала необходимо получить набор рыночных цен базисной акции в количестве n + 1 или из финансовых изданий (например, Wall Street Journal) или из компьютерной базы данных. После этого цены используются для получения п значений доходности на основе непрерывного начисления, как это показано ниже:

[ Pt \

r ln ~Б- (20.13)

где Psl и P i - рыночная цена базисной акции соответственно в момент времени / и t-1, In обозначает натуральный логарифм от величины Р /Ря , (который и составляет непрерывно начисляемую доходность).

Например, набор рыночных цен может состоять из цен закрытия в конце каждой из 53 недель. Если цена в конце одной недели была равна $105, а цена в конце следующей недели составляла $107, то доходность за данную неделю г, будет равна 1,886%[1п( 107/105)]. Таким образом, мы получим 52 значения недельной доходности (доходности в расчете на неделю).

Получив п значений доходности акции, определяем среднюю доходность акции:

гю=-Ъг (20.14)

п ,=;

Затем средняя доходность используется для оценки дисперсии за период, которая равна квадрату стандартного отклонения за период:

s2=-l- H(r,-raJi. (20.15)

Мы называем это дисперсией за период, потому что ее величина зависит от продолжительности периода времени, за который определяется каждое значение доходности. В нашем примере рассчитывалась доходность за неделю, которая может быть использована для получения величины дисперсии за неделю. Соответственно на основе дневной доходности будет определяться дисперсия в расчете на день, значение которой будет меньше дисперсии за неделю. Однако необходимо получить дисперсию не за неделю и не за день, а в расчете на год. Ее получают, умножив дисперсию за период на число таких периодов в году. Таким образом, недельная дисперсия умножается на 52 для получения годовой дисперсии я2(т.е. s2 = 52S2)17.

Существуют и другие методы определения общего риска акции. Один из них строится на субъективной оценке вероятности возможных значений будущих цен акции. Еще один метод позволяет объединить прошлые данные и субъективные оценки.

Прошлые данные не дают точного результата для оценки будущей неопределенности, тем не менее они весьма полезны. Более поздние данные могут оказаться полезнее, чем более ранние. Поэтому некоторые аналитики изучают дневные изменения цены за последние 6-12 месяцев, и иногда придают им более высокие веса, чем более старым данным. Другие изучают прошлые курсы акций и вероятность того, что акции, курсы которых недавно понизились, могут оказаться более рискованными в будущем, чем это было в прошлом. Некоторые обращают больше внимания на субъективные оценки будущего, учитывая при этом неопределенность как в отношении общего развития экономики, отдельных отраслей, так и акций.

В ряде случаев оценки аналитика в отношении риска акции на следующие три месяца могут отличаться от оценок за следующие за ними три месяца. Это ведет к использованию различных значений о для опционов колл на одни и те же акции, но с различными датами истечения.