ем 16 наблюдений). Иногда, однако, необходимо использовать более короткие интервалы для того, чтобы не рассматривать доходности портфелей, полученные различными менеджерами. В примерах, приводимых в дальнейшем, для упрощения обработки информации будут рассматриваться 16 квартальных наблюдений. На практике, если рассматриваемый интервал равняется четырем годам, то предпочитают использовать месячные наблюдения.

В простейшей ситуации, когда клиент не вкладывает и не забирает деньги из портфеля на протяжении всего рассматриваемого периода, вычисления периодической доходности портфеля являются тривиальными. Вся необходимая информация - это рыночная стоимость портфеля в начале и в конце рассматриваемого периода.

В общем случае рыночная стоимость портфеля в определенный момент времени вычисляется как сумма рыночных стоимостей ценных бумаг, входящих в портфель на данный момент времени. Например, процедура определения рыночной стоимости портфеля, состоящего из обыкновенных акций, состоит из следующих этапов: определения рыночной стоимости одной акции каждого типа; умножения цены каждой акции на количество акций данного типа в портфеле; сложения всех полученных произведений. Рыночная стоимость портфеля в конце периода определяется аналогичным образом, исходя из рыночных стоимостей и количества акций различных типов, входящих в портфель на конец периода.

Зная исходную и конечную стоимость портфеля, можно вычислить его доходность (/ ), вычтя его исходную стоимость (V) из конечной (V) и разделив данную разность на исходную стоимость:

V - Vu

г= . (25.1)

Например, если портфель имеет рыночную стоимость $40 млн. в начале квартала и $46 млн. в конце квартала, то доходность портфеля за квартал составляет 15% [($46 млн. -- $40 млн.)/$40 млн.].

Измерения доходности портфеля осложняются тем, что клиент может как добавить, так и забрать часть денег из портфеля. Это означает, что изменение рыночной стоимости портфеля за период, выраженное в процентах, не всегда является адекватной мерой доходности портфеля за данный период.

Например, рассмотрим портфель, рыночная стоимость которого на начало периода равняется $100 млн. Незадолго до конца квартала клиент делает дополнительное вложение в $5 млн., после чего рыночная стоимость на конец квартала становится равной $103 млн. Если измерять доходность за квартал без учета депозита в $5 млн., то она составит 3% [($103 млн. - $100 млн.)/$100 млн.]. Однако данные вычисления являются некорректными, так как $5 миллионов из конечных $103 млн. не имеют никакого отношения к инвестиционной активности менеджера. Учитывая данное вложение, можно сделать вывод, что в действительности доходность за данный квартал составила -2% [($103 млн. - $5 млн. - $100 млн.)/$100 млн.].

Для измерения доходности портфеля важным является то, в какой момент вносятся или изымаются деньги. Если данные действия производятся прямо перед концом рассматриваемого периода, то вычисление доходности нужно производить с помощью коррекции конечной рыночной стоимости портфеля. В случае внесения денег конечная стоимость должна быть уменьшена на величину внесенной суммы, как это и было проделано в предыдущем примере. В случае изъятия денег конечная стоимость должна быть увеличена на изъятую сумму.

Если внесение или изъятие денег происходит сразу после начала рассматриваемого периода, то доходность портфеля должна быть рассчитана с помощью коррекции его

исходной рыночной стоимости. В случае внесения денег исходная стоимость должна быть увеличена на внесенную сумму, а в случае изъятия уменьшена на величину изъятой суммы. Например, если депозит в $5 млн. из предыдущего примера был внесен в начале квартала, то доходность за квартал равняется -1,90% {[$103 млн. - ($100 млн. + $5 млн.)]/ ($100 млн. + $5 млн.)}.

25.7.7 Внутренняя ставка доходности

Однако возникает ряд трудностей, когда вложения или изъятия денег происходят в середине рассматриваемого периода. Один из методов, используемых для исчисления доходности портфеля в таких ситуациях, основывается на внутренней ставке доходности (dollar-weighted return, или internal rate of return). Например, если депозит в $5 млн. вносится в середине квартала, то внутренняя ставка доходности вычисляется, исходя из решения следующего уравнения относительно г:

ф.пп -и- -$5 million $103 million

$100 million =-+---. (25.2)

(l + O (1 + r)2

Решение этого уравнения - г = -0,98% является ставкой доходности за полквартала.

Если к данному значению прибавить 1, возвести полученное значение в квадрат

и затем вычесть 1, то мы получим доходность портфеля за квартал, равную -1,95% {[1 + (-0,0098)]2 - I}1.

25.7.2 Доходности, взвешенные во времени

Альтернативой внутренней доходности является доходность, взвешенная во времени (time-weighted return), которая может быть вычислена в случае наличных платежей между началом и концом периода. Этот метод использует рыночные стоимости портфеля перед каждым наличным платежом. Предположим, что в примере, рассмотренном ранее, рыночная стоимость портфеля в середине квартала составляла $96 млн. Таким образом, сразу после внесения депозита в $5 млн. рыночная стоимость составила $101 млн. ($96 млн. + $5 млн.). В данном случае доходность за первую часть квартала составила -4% [($96 млн. - $100 млн.)/ ($100 млн.)], доходность за вторую часть квартала составила 1,98% [($103 млн. - $101 млн.)/$101 млн.]. Далее эти две доходности за половины кварталов могут быть преобразованы в доходности за квартал с помощью прибавления 1 к каждой доходности, перемножения всех сумм и вычитания 1 из полученного произведения. В нашем примере результатом данных вычислений будет квартальная доходность в -2,1% {[(1 - 0,04) х (1 + 0,0198)] - 1}.

25.7.3 Сравнение внутренних и взвешенных во времени доходностей

Какой же метод вычисления доходности портфеля является более предпочтительным? В приведенном здесь примере внутренняя доходность равняется -1,95%, а взвешенная во времени доходность равняется -2,1%. Исходя из этого, можно предположить, что разница между двумя методами является несущественной. Хотя данное предположение и будет верно в некоторых ситуациях, можно привести примеры, для которых данная разница будет весьма велика и в которых метод, вычисляющий доходность, взвешенную во времени, будет более предпочтительным.

Рассмотрим гипотетический портфель, рыночная стоимость которого в начале квартала составляет $50 млн. В середине квартала рыночная стоимость портфеля падает до $25 млн., после чего клиент дополнительно вкладывает в портфель $25 млн. В конце

квартала рыночная стоимость портфеля становится равной $100 млн. Внутренняя доходность данного портфеля за полквартала равняется значению величины г из следующего уравнения:

.... -$25 million $100 million $з0 million =--1----. cyz -i\

(l + r) (l + r)2 (ZX >

Решением данного уравнения будет величина г, равная 18,6%, что соответствует квартальной внутренней доходности 40,66% [(1,186)2 - 1]. Однако квартальная, взвешенная во времени доходность данного портфеля будет равняться 0%, так как его доходность за первую половину квартала составила -50%, а за вторую половину квартала составила +100% [заметим, что (1 - 0,5) х (1 + 1) - 1 = 0%].

Сравнение этих двух доходностей (40,66% и 0%) показывает, что существует ощутимая разница между ними. Однако значение взвешенной во времени доходности в 0% является более содержательным для оценки эффективности управления портфелем, чем значение внутренней доходности в 40,66%. Объяснение данному факту можно найти, если рассмотреть доходность за квартал каждого доллара, вложенного в портфель в начале квартала. Каждый доллар потерял половину своей стоимости за первую половину квартала, а потом каждые оставшиеся полдоллара удвоили свою стоимость за вторую половину квартала. Следовательно, доллар в начале квартала стоил столько же, сколько доллар в конце, что позволяет сделать следующий вывод: доходность портфеля в 0% является более точной оценкой эффективности работы менеджера, чем доходность в 40,66%.

В общем, метод оценки эффективности управления портфелем, основанный на использовании внутренней доходности, нельзя считать удовлетворительным. Основанием для данного утверждения служит сильное влияние величин и сроков наличных платежей (которыми являются дополнительные вложения и отзывы денег) на доходность портфеля, которые инвестиционный менеджер обычно не может контролировать. Большое значение внутренней доходности в нашем примере обусловлено исключительно тем, что клиент сделал дополнительное крупное вложение как раз перед тем, как портфель резко вырос в цене. Таким образом, доходность в 40,66% объясняется скорее действиями клиента, чем менеджера.

25.7.4 Годовые доходности

В предыдущем разделе обсуждались методы вычисления квартальной доходности портфеля. Для вычисления годовой доходности необходимо сложить или перемножить квартальные доходности. Например, если доходности за первый, второй, третий и четвертый кварталы данного года обозначены как rv г2, г} и г4, то годовая доходность может быть вычислена как сумма этих величин:

Годовая доходность = г, + г2 + г3 + г . (25.4)

Однако годовая доходность может быть вычислена с помощью прибавления 1 к каждой квартальной доходности, перемножения всех полученных сумм и вычитания 1 из данного произведения:

Годовая доходность = [(1 + г, )(1 + )(1 + /3)(1 +/ )] - 1. (25.5)

Данное значение доходности является более точным, так как в нем учитывается стоимость одного доллара в конце года при условии, что он был вложен в начале года, а ставка доходности, рассчитанная по формуле сложных процентов, составляет г, за пер-