оср = arp -[arf + (arM -arf )рр]. (25.13)

После определения значений а и [3 портфеля его апостериорная характеристическая линия (characteristic line) может оытьсэписана следующим уравнением:

rp-rf = ap+pp(rM-rf). (25.14)

Эта характеристическая линия подобна рыночной модели, за исключением того, что доходности портфеля и индекса рынка выражаются через превышение над безрисковой доходностью. На графике величина (гм - г{) откладывается по горизонтальной оси, а (г - г{) - по вертикальной оси. Таким образом, вертикальное смещение (относительно нуля) данной прямой равняется ар, а коэффициент наклона равняется В

В качестве примера рассмотрим поведение гипотетического портфеля, носящего название Первый фонд из части (а) табл. 25.1 на заданном 16-квартальном интервале. На данном интервале средняя квартальная доходность Первого фонда составляла 3,93%. Используя уравнение (25.8), можно показать, что бета Первого фонда равна 1,13. Средняя бета Первого фонда за 16 кварталов больше беты рыночного портфеля, которая равна единице, следовательно, можно сделать вывод, что Первый фонд был относительно агрессивен (если бы средняя бета была меньше 1, то можно было бы сделать вывод об относительной пассивности портфеля).

По данным значениям беты и средней доходности можно определить местоположение Первого фонда на рис. 25.4. Ему соответствует точка с координатами (1,13 и 3,93), обозначенная как FF. С помощью уравнения (25.13) можно вычислить вертикальное расстояние от точки FF но апостериорной SML:

ар = агр ~ [<- / + *<агм ~ arf )РР] =

= 3,39% - [2,23% + (4,88% - 2,23%) 1,13] =

= -1,29%.

Так как точка /7- расположена ниже апостериорной SML, то ее апостериорная альфа отрицательна, что позволяет рассматривать управление данным портфелем как низкоэффективное3. Согласно уравнению (25.14), апостериорная характеристическая линия Первого фонда имеет следующий вид:

rp-rf = \,29% + UXrM-rf). На рис. 25.5 приведена прямая, заданная данным уравнением6.

Метод определения апостериорных коэффициентов альфа , бета и характеристической линии основан на использовании следующей пятишаговой процедуры:

1. Определение периодических доходностей портфеля и индекса рынка за временной интервал, а также соответствующих безрисковых ставок.

2. Определение средних значений рыночной доходности и безрисковой ставки с помощью уравнений (25.9) и (25.10).

3. Определение апостериорной беты портфеля с помощью уравнения (25.8).

4. Определение апостериорной альфы портфеля с помощью уравнения (25.13).

5. Определение апостериорной характеристической линии портфеля с помощью подстановки полученных значений для альфы и беты в уравнение (25.14).

Однако есть более простой метод определения апостериорных альфы , беты и характеристической линии портфеля, который также позволяет получить некоторую информацию об управлении портфелем. Данный метод подразумевает использование простой линейной регрессии (simple linear regression) и относится к методам оценки рыночной модели для отдельной ценной бумаги, изложенным в гл. 8 и 17.

Рис. 25.4. Оценка эффективности управления портфелем с помощью апостериорной SML

Согласно этому методу избыточная доходность портфеля р за данный период t состоит из трех компонентов. Первый компонент - это альфа портфеля, второй компонент - премия за риск, которая равна произведению избыточной доходности рынка на бету портфеля, а третьим компонентом является случайная погрешность7. Данные три компонента находятся в правой части следующего уравнения:

rPt -rf, = °cp+ Pp(rM! -rft) + ep!. (25.15)

Уравнение (25.15) можно рассматривать как регрессионное уравнение, так как величины а и Р предполагаются постоянными в данном временном интервале. Соответственно существуют стандартные формулы для оценки а , [3 и ряда других статистических параметров, связанных с регрессионным уравнением.

Часть (б) табл. 25.1 представляет данные формулы, причем в качестве примера используется Первый фонд. Как видно из этих формул, в 16-квартальном временном интервале альфа Первого фонда равняется -1,29, а бета равняется 1,13. Данные значения совпадают со значениями, полученными при использовании уравнений (25.8) и (25.13). На самом деле эти значения будут совпадать всегда.

Рисунок 25.5 представляет точечную диаграмму избыточных доходностей Первого фонда и индекса S&P 500. Из уравнения (25.15) следует, что регрессионное уравнение для Первого фонда имеет следующий вид:

rFF ~rf =-1,29% + l,13(rAf -rf) + eFF.

(25.16)

-9,00%

15,00%

Рис. 25.5. Апостериорная характеристическая линия Первого фонда

00 (О

id > ГО >