где -1,29 - это оценка апостериорной альфы , 1,13 - оценка апостериорной беты Первого фонда на 16-квартальном временном интервале. Как уже отмечалось ранее, на рисунке также изображена апостериорная характеристическая прямая Первого фонда, определенная как простая линейная регрессия:

rFF-rf = -l,29% + l,l3(ru-rf). (25.17)

Вертикальное расстояние между каждой точкой этой диаграммы и регрессионной линией представляет собой оценку случайной погрешности для соответствующего квартала. Точное расстояние может быть определено, если переписать уравнение (25.16) в следующем виде:

eFr = (rrr-rf)-[-l,29% + \,\3(rM-r/)]. (25.18)

Например, в 11-м квартале избыточная доходность Первого фонда равнялась 6,14%, а избыточная доходность S&P 500равнялась 6,29%. С помощью уравнения (25.18) можно вычислить значение eff за квартал следующим образом:

еЯг=(6,14%)-[-1,29% + 1,13(6,29%)] = 0,32%.

Значение eFF может быть вычислено аналогичным образом для всех оставшихся

15 кварталов временного интервала. Стандартное отклонение итогового набора из

16 чисел будет оценкой стандартного отклонения случайной погрешности (или остаточного стандартного отклонения). В части (б) табл. 25.1 показано, что стандартное отклонение данного набора равняется 3,75%. Данное число можно рассматривать как апостериорную оценку собственного (несистематического, или нерыночного) риска Первого фонда.

Регрессионной прямой Первого фонда, изображенной на рис. 25.5, является линия, наилучшим образом соответствующая точечной диаграмме. Что означает наилучшим образом соответствующая ? Так как прямая линия определяется коэффициентом пересечения с вертикальной осью и коэффициентом наклона, это означает, что не существует других значений альфы и беты , которые бы лучше соответствовали точечной диаграмме, чем данные значения. В терминах простой линейной регрессии это означает, что нельзя провести такую линию, чтобы соответствующее стандартное отклонение случайной погрешности было меньше, чем для регрессионной прямой.

Необходимо заметить, что невозможно определить истинную бету портфеля. Все, что можно сделать, - это оценить ее значение. Таким образом, хотя истинная бета портфеля может оставаться все время одинаковой, оценка значения беты , проведенная способом, проиллюстрированным табл. 25.1 и рис. 25.5, будет все время меняться из-за ошибок (известных как ошибки выборки), возникающих при проведении оценки. Например, если мы исследуем набор из 16 кварталов, в котором первый квартал заменен на некоторый более ранний, то оценка значения беты Первого фонда будет скорее всего отличаться от числа 1,13.

Стандартная ошибка беты , приведенная в табл. 25.1, отражает степень возможной ошибки данной оценки. При некоторых необходимых предположениях (например, что истинная бета не изменяется в течение 16-квартального оценочного периода), мы имеем примерно два шанса из трех, что истинная бета лежит в интервале от оценки бета минус стандартная ошибка до оценки бета плюс стандартная ошибка. Таким образом, вполне вероятно, что истинная бета лежит между 1,00 (1,13 - 0,13) и 1,26 (1,13 + 0,13). Аналогично значение стандартной ошибки альфа характеризует величину возможной ошибки для той выборки, которая использовалась при оценке.

Значение коэффицента корреляции показывает, насколько близко избыточная доходность Первого фонда связана с избыточной доходностью S&P 500. Так как коэффициент корреляции лежит в промежутке от -1 до 1, то его значение в 0,92 показывает очень сильную зависимость между Первым фондом и S&P 500. То есть большая избыточная доходность Первого фонда тесно связана с большой избыточной доходностью S&P 500.

Коэффициент детерминации представляет собой долю дисперсии избыточной доходности Первого фонда, которая связана с дисперсией избыточной доходности S&P 500. То есть он показывает, в какой степени изменчивость избыточной доходности Первого фонда может быть объяснена изменчивостью избыточной доходности S&P 500. Его значение, равное 0,85, означает, что 85% изменений избыточной доходности Первого фонда за 16-квартальный интервал может быть связана с изменениями избыточной доходности S&P 500.

Так как коэффициент неопределенности равняется разности единицы и коэффициента детерминации, то он показывает, какая доля изменений избыточной доходности Первого фонда не является результатом изменений избыточной доходности S&P 500. Таким образом, 15% изменений избыточной доходности Первого фонда не связаны с изменениями избыточной доходности S&P 500.

Хотя в табл. 25.1 и приведены формулы для вычисления всех этих значений, стоит отметить, что существует большое количество пакетов компьютерных программ, которые могут быстро произвести данные вычисления. Единственное, что требуется от пользователя, - это собрать все необходимые данные для вычислений, приведенных в табл. 25.1, часть (а), и внести их в компьютер.

25.3.2 Коэффициент доходность-изменчивость

Мера эффективности управления портфелем, носящая название коэффициент доходность-изменчивость {reward-to-volatility ratio), тесно связана с апостериорной альфой портфеля8. Данная мера, которая обозначается RVOLp, также использует SML при формировании базового портфеля для оценки эффективности управления, но несколько другим образом. Коэффициент доходность-изменчивость вычисляется как отношение избыточной доходности к рыночному риску:

агп - агг

RVOLp = ---L. (2519)

Здесь бету портфеля можно определить с помощью уравнения (25.8).

Ранее отмечалось, что средняя доходность Первого фонда за 16-квартальный временной интервал равняется 3,93%. Кроме того, средняя доходность векселей Казначейства равняется 2,23%. Таким образом, средняя избыточная доходность Первого фонда равняется 1,70% (3,93% - 2,23%), а зная, что бета равняется 1,13, можно вычислить, что коэффициент избыточная доходность-изменчивость равняется 1,50% (1,70%/1,13).

Коэффициент доходность-изменчивость связан с наклоном прямой, начинающейся в точке, соответствующей средней безрисковой ставке, и проходящей через точку (Рр, arf ). Здесь следует заметить, что коэффициент наклона прямой легко определить, если известны две точки, через которые проходит данная прямая. В нашем случае -это просто вертикальное расстояние между двумя точками, деленное на горизонтальное расстояние между ними. Причем вертикальное рассстояние - это агр - аг{ , а горизонтальное расстояние - это /3-0, т.е. коэффициент наклона равняется (ar - orf)/p) и, таким образом, связан с формулой для RVOL , приведенной в уравнении (25.19). Заметим, что по вертикальной оси откладываются значения аг , а по горизонтальной оси откладываются значения р , что позволяет изобразить данную линию на одной диаграмме с апостериорной SML.

Вспомним, что в примере с Первым фондом апостериорная SML изображается на рис. 25.4 сплошной линией. Кроме того, на данном рисунке отмечена точка FF, соответствующая точке (р, агр ) = (1,13, 3,93%) для Первого фонда. Пунктирная линия, начинающаяся в точке (0, аг) - (0, 2,23%) , проходит через точку FFn имеет наклон в 1,50% [(3,93% - 2,23%)/1,13], равный RVOLp.

Эталоном для сравнения в данном случае является наклон апостериорной SML. Так как эта линия проходит через точки (0, аг) и (1, агм ), ее наклон может быть вычислен как следующее отношение: (arM - arf)/(\ - 0) = (arM - arf). Если значение RVOL превышает данное значение, то портфель располагается выше апостериорной SML и, следовательно, его эффективность выше эффективности рынка. Если значение RVOL меньше данного значения, то портфель лежит ниже апостериорной SML, что означает эффективность более низкую, чем эффективность рынка.

В случае Первого фонда эталонное значение равняется 2,65% (игм - аг = 4,88% - - 2,23%). Так как значение RVOL для Первого фонда меньше эталонного (1,50% < < 2,65%), то в соответствии с данной мерой эффективности управления портфелем Первый фонд является менее эффективным, чем рынок.

Сравнивая две меры эффективности управления, основанных на апостериорной SML и RVOL , следует заметить, что их оценки эффективности управления портфелем относительно рыночного портфеля будут всегда совпадать. То есть если один из этих измерителей показывает, что портфель эффективнее рынка, то же самое покажут и другие измерители. Если один из измерителей показывает, что рынок эффективнее портфеля, то же самое покажет и второй измеритель. Это объясняется тем, что портфель с положительной апостериорной альфой (показатель эффективного управления) располагается выше апостериорной SML и, таким образом, должен иметь наклон больший, чем наклон апостериорной SML (что также является отражением высокоэффективного управления). Аналогично каждый портфель с отрицательной апостериорной альфой (отражающей низкоэффективное управление) лежит ниже апостериорной SML и, таким образом, должен иметь наклон меньший, чем наклон апостериорной SML (что также отражает низкоэффективное управление).

Однако следует отметить, что два измерения будут по разному оценивать портфели с точки зрения эффективности управления, просто потому, что применяются различные методы вычисления. Например, если Второй фонд имеет бету , равную 1,5, и среднюю доходность, равную 4,86%, его апостериорная альфа будет равняться -1,34% {4,86% - [2,23 + (4,88 - 2,23) х 1,5]}. Таким образом, его эффективность оказывается ниже эффективности Первого фонда, так как он имеет меньшую апостериорную альфу (- 1,34% < - 1,29%). Однако коэффициент доходность - изменчивость , равный 1,75% [(4,86% - 2,23%)/1,5], превосходит коэффициент избыточная доходность-изменчивость Первого фонда, равное 1,50%, что позволяет предположить большую эффективность Второго фонда.

25.3.3 Коэффициент доходность-разброс

Обе описанные меры эффективности (апостериорная альфа , которая является дифференциальной доходностью, и коэффициент доходность-изменчивость ) используют эталоны, основанные на апостериорной рыночной линии ценной бумаги (SML). Соответственно они измеряют соотношение доходности и рыночного риска портфеля. В отличие от этих мер коэффициент доходность-разброс (reward-to-variability ratio) характеризует эффективность управления, используя эталоны, основанные на рыночной линии CML9. Это означает, что он измеряет доходность относительно общего риска портфеля, где под общим риском подразумевается стандартное отклонение доходности портфеля.