рынка. Почему? Потому что, как это уже отмечалось ранее, ожидаемая доходность портфеля является линейной функцией его коэффициента бета :

rp = ap+rf + (rM -rf)pp. (25.23)

Это означает, что инвестор хочет иметь портфель с большим значением беты , когда по его ожиданиям доходность рынка превысит безрисковую ставку. В этом случае данный портфель будет иметь большую ожидаемую доходность, чем портфель с малой бетой . Наоборот, инвестор предпочтет иметь портфель с малой бетой в случае, когда он ожидает, что доходность рынка будет ниже безрисковой ставки. В этом случае такой портфель будет иметь большую ожидаемую доходность, чем портфель с высоким значением беты . Проще говоря, инвестор предпочтет:

1. Портфель с высокой бетой при условии, что rM>rf.

2. Портфель с низкой бетой при условии, что гм<г.

Если инвестор точен в прогнозах ожидаемой доходности рынка, то его портфель будет более эффективным, чем эталонный, имеющий постоянную бету , равную средней бете портфеля инвестора.

Например, если инвестор формирует портфель с бетой , равной нулю при гм </у, и с бетой , равной 2 при гм >/у, то при достаточно точном прогнозе доходность его портфеля будет выше доходности портфеля с бетой , постоянно равной единице. Однако если инвестор неточен в своих прогнозах и, следовательно, изменяет бету портфеля так, что эти изменения не связаны с реальным изменением рынка, то его портфель будет менее эффективным, чем портфель с постоянной бетой . Например, если инвестор формирует портфель с бетой , равной нулю, когда прогнозы показывают спад рынка, а в действительности рынок растет, и в то же время формирует портфель с бетой , равной 2, когда прогнозы рынка показывают его рост, а в действительности он находится в состоянии спада, то средняя доходность такого портфеля будет меньше, чем доходность портфеля с постоянной бетой .

При активном управлении портфелем можно либо изменить среднюю бету рискованных бумаг, входящих в портфель, либо доли средств, инвестированных соответственно в безрисковые финансовые активы и рискованные ценные бумаги. Например, для того чтобы увеличить бету портфеля, можно продать облигации и акции с маленькой бетой , а затем вложить все вырученные средства в акции с большим значением беты . Другим путем может быть продажа векселей Казначейства (или увеличение заимствований) с последующим вложением полученных средств в акции.

На рисунке 25.7 по вертикальной оси отложены избыточные доходности двух гипотетических портфелей, а по горизонтальной - избыточные доходности индекса рынка. Прямые, полученные методом стандартной регрессии, показывают положительные значения апостериорной альфы в каждом случае. Однако точечная диаграмма говорит о другом.

Точечная диаграмма портфеля, приведенная в части (а) рисунка, позволяет сделать предположение о существовании линейной зависимости между избыточными доходностями портфеля и избыточными доходностями рынка, так как точки расположены близко к прямой регрессии. Из диаграммы также следует, что портфель составлен из ценных бумаг таким образом, что его бета остается примерно постоянной. Так как апостериорная альфа была положительной, то из всего вышесказанного можно сделать вывод, что инвестиционный менеджер удачно идентифицировал недооцененные ценные бумаги и инвестировал в них средства.

Точечная диаграмма портфеля, приведенная в части (б) рис. 25.7, показывает, что взаимосвязь избыточных доходностей портфеля и избыточных доходностей рынка не

а) Эффективный выбор акций

б) Эффективный выбор времени операций

Рис. 25.7. Эффективное управление портфелем

является линейной, так как точки в середине графика лежат ниже прямой регрессии, в то время как по концам графика - выше прямой регрессии. То есть данный портфель состоял из ценных бумаг с высокими коэффициентами бета в периоды, когда доходность рынка была высокой, и ценных бумаг с низкими коэффициентами бета , когда доходность рынка была низкой. После проведения исследований становится ясно, что портфель имеет положительную апостериорную альфу благодаря успешному выбору времени операции инвестиционным менеджером.

25.4.1 Квадратичная регрессия

Для оценки способностей инвестиционного менеджера правильно выбирать время операции иногда бывает необходимо использовать более сложные зависимости, чем просто прямая линия, для аппроксимации точечных диаграмм, таких, как изображенные на рис. 25.7. Рассмотрим процедуру, которая позволяет построить соответствующую кривую, причем используются статистические методы оценки параметров a, b и с в следующем уравнении квадратичной регрессии:

где е - случайная погрешность.

Апостериорная характеристическая кривая, приведенная на рис. 25.8(a), является квадратичной функцией, в которой значения а, b и с были оценены с помощью стандартных регрессионных методов:

Если оцененное значение с положительно (как, например, у портфеля, изображенного на рис. 25.8(a)), то наклон кривой уменьшается при движении справа налево. Это означает, что менеджер по управлению портфелем успешно выбрал время операции. Рассмотрим, как данное уравнение соотносится с уравнением апостериорной характери-

V -rfl=a+b(rMl-rfl) + cKrMt Гft) ] + £pt;

(25.24)

г р, - г j) =a + b(rMl- rfi) + c[(rMl -rflY ].

(25.25)

стической прямой в случае, когда с почти равно нулю. В данной ситуации а и b соответствуют апостериорным альфе и бете портфеля.

а)Апостериорная в) Апостериорная

характеристическая кривая характеристическая прямая

Рис. 25.8. Апостериорные характеристические кривые и прямые

25.4.2 Регрессия с модельными переменными

Альтернативная процедура позволяет построить две апостериорные характеристические прямые, удовлетворяющие точечной диаграмме, как это показано на рис. 25.8(6). Периоды, когда рисковые ценные бумаги оказываются более эффективными, чем безрисковые (т.е. когда rUi > rft ), носят название подъем рынка (up markets). Периоды, когда рисковые ценные бумаги оказываются менее эффективными, чем безрисковые (т.е. когда rMi < г/) носят название спад рынка (down markets). Удачливый инвестор будет выбирать высокую бету в периоды подъема рынка и низкую бету в периоды спада рынка. Графически наклон апостериорной характеристической прямой для положительных избыточных доходностей рынка (подъема рынка) будет больше, чем наклон апостериорной характеристической прямой для отрицательных избыточных доходностей рынка (спада рынка).

Для определения такой зависимости можно использовать стандартные методы регрессии для оценки параметров a, b и с с помощью следующего уравнения регрессии с модельными переменными (dummy variable regression equation):

rPt-rfi=a + b(rm -/-/,) + c[D,(rMt -rft)} + £pt. (25.26)

Здесь epi - случайная погрешность, a Dt - модельная переменная, принимающая значение, равное нулю, для каждого периода времени г, когда гю < rfl, и значение, равное минус единице, для любого прошедшего периода времени t, когда гш > rft . Для лучшего понимания данного метода рассмотрим уравнение (25.26) для различных значений гщ - rfl. Значения гш - г/( Уравнения

> 0 ГР1 ~ гн = а + ь<гм, - г > + %,

= 0 гр< ~ rn = а + £р,

< 0 ГР> - rn = а + № с><гм, г ) + £Р,