(1 + rc) х [(1 + rc) x $946,93 - $50] =$1050, (5.6)

что дает доходность 7,975%.

Другими словами, доходность к погашению - это процентная ставка в коэффициенте дисконтирования, которая приравнивает сумму обещанного денежного потока к текущей рыночной цене облигации1. Рассматриваемая таким образом доходность к погашению аналогична внутренней ставке рефинансирования (internal rate of return) - понятию, используемому при принятии бюджетных решений, которое часто описывается во вводных финансовых учебниках. Для облигации А это можно продемонстрировать, разделив обе части уравнения (5.4) на (1 + гА):

ми,8 $Ю00

$93458 = Г)- (5-7)

Аналогично, для облигации В обе части уравнения (5.5) могут быть разделены на (1 + гвУ:

$857,34 = (58)

(\ + гв)2

а для облигации С обе части уравнения (5.6) разделим на (1 + гс)2:

$946,93- $5° $Ш5°

$946,93 =

(1 + t) (1+t)

$50 $1050

(5.9)

(1 + t)

Так как уравнения (5.7), (5.8) и (5.9) эквивалентны уравнениям (5.4), (5.5) и (5.6) соответственно, то и решения этих уравнений одинаковые: гА = 7%, гв= 8% и гс = 7,975% соответственно.

Для купонных облигаций доходность к погашению определяется итерационным способом. В рассмотренном примере для облигации С первоначально можно использовать ставку в коэффициенте дисконтирования 10%, тогда правая часть уравнения (5.9) будет равна $913,22, что слишком мало. Значит число в знаменателе слишком велико и можно подставить, например, 6%. В этом случае окажется, что правая,-часть велика. Далее берем число между 6 и 10%. Продолжая таким образом, получим искомую ставку с любой заданной точностью.

К счастью, компьютеры прекрасно справляются с этой задачей. Компьютеру задается сложная серия денежных потоков, и он быстро определяет величину доходности к погашению. Во многие финансовые калькуляторы встроены аналогичные программы. Пользователь просто задает калькулятору число дней до погашения, годичные купонные выплаты и текущую рыночную цену, а затем нажимает кнопку и получает доходность к погашению.

Доходность к погашению - наиболее распространенный способ измерения процентной ставки по облигации или ее доходности. Эта ставка может быть рассчитана для любой облигации, что облегчает сравнение различных инвестиций. Однако здесь имеются некоторые проблемы. Чтобы объяснить эти проблемы, необходимо рассмотреть концепцию спот-ставок.

Спот-ставки

Спот-ставка (spot rate) измеряется в конкретный момент времени как доходность к погашению по бескупонной облигации. Спот-ставку можно представлять как процентную ставку, связанную со спот-контрактом. Такой контракт (после подписания) подразумевает немедленный заем денег одной стороной у другой. Заем должен быть возвращен одновременно с процентами по нему в некоторый определенный момент времени в будущем. Процентная ставка, указываемая в таком контракте, называется спот-ставкой.

Облигации А и В в предыдущем примере были бескупонными ценными бумагами, т.е. инвестор, купивший такую бумагу, получит выплаты лишь однократно. В этом примере спот-ставка для облигации со сроком погашения один год равнялась 7%, а со сроком погашения два года - 8%. В общем виде спот-ставка за / лет, st, является членом следующего уравнения:

(1 + 5,)

(5.10)

где Р - текущая рыночная цена бескупонной облигации, которая погашается через глет по цене М. Например, величины Pf и Mf для облигации В при / = 2 были бы равны $857,34 и $1000 соответственно.

Спот-ставки могут быть рассчитаны и другим способом в том случае, если ценные бумаги с большими сроками погашения представлены только купонными казначейскими облигациями. Как правило, спот-ставка на один год (s,) известна, так как бескупонная облигация со сроком погашения один год обычно всегда существует в обращении. Однако вполне вероятно, что бескупонной казначейской облигации со сроком погашения два года на рынке не окажется. Вместо этого доступной для инвестиции может оказаться купонная облигация с таким же сроком погашения, имеющая текущую рыночную цену Р цену погашения Мг и купонные выплаты каждый год с данного момента в размере Сг В данной ситуации спот-ставку (s2) для облигации с двухлетним сроком погашения можно определить, решив следующее уравнение:

Р - С1 , М2

Р2~ + - <5- >

Например, предположим, что имеются только облигации А и С. Известно также, что спот-ставка за один год (s{) равна 7%. Теперь для вычисления спот-ставки за два года (s) может быть использовано уравнение (5.11). При этом Р = $946,93, С = $50 и Мг = $1050:

$946,93= $5° + -$105°

(1+0,07) (1 + 52)

Решением этого уравнения является s2 = 0,08 = 8%. Таким образом, в рассмотренном примере величина двухгодичной спот-ставки была одной и той же как при прямом способе вычисления, анализирующем бескупонную облигацию В, так и при косвенном способе, анализирующем купонную облигацию С в сочетании с облигацией А. Хотя при анализе реальных облигаций подобное равенство не всегда сохраняется, обычно разница оказывается незначительной.

Коэффициенты дисконтирования

Определив множество спот-ставок, легко вычислить соответствующее множество коэффициентов дисконтирования (discount factors). Коэффициент дисконтирования d равен сегодняшней стоимости $1, который будет получен через глет по казначейской ценной бумаге, т.е.:

=7 (5Л2)

Множество таких коэффициентов иногда называют рыночной функцией дисконтирования (market discount function). Коэффициенты дисконтирования изменяются каждый день с изменением спот-ставок. В примере dx = 1/(1 + 0,07) = 0,9346; d2 = 1/(1 + 0,08)2 = 0,8573.

Если рыночная функция дисконтирования определена, то очень просто можно найти современную эквивалентную стоимость любой казначейской ценной бумаги (а также любой безрисковой ценной бумаги). Обозначим через С выплаты, получаемые инвестором в год t по рассматриваемой ценной бумаге. Умножение Ct на d называется дисконтированием (discounting), или приведением, заданной (известном) будущей стоимости к современной эквивалентной стоимости. Последнее означает то, что Р сегодняшних долларов можно превратить в С долларов через глет, используя имеющиеся инвестиционные возможности при сегодняшних преобладающих спот-ставках. Инвестиция, приносящая С гарантированных долларов через t лет, сегодня должна стоить Р = d С долларов. Если она стоит дороже, то инвестиция переоценена; если дешевле, то недооценена. Эти утверждения опираются на сравнение альтернативных возможностей на рынке. Таким образом, оценка инвестиций в безрисковые ценные бумаги не требует определения индивидуальных характеристик ценных бумаг, а требует только точного анализа возможных вариантов, представленных на рынке.

КЛЮЧЕВЫЕ ПРИМЕРЫ И ПОНЯТИЯ

ПОЧТИ БЕЗРИСКОВЫЕ ЦЕННЫЕ БУМАГИ

Чтобы рассуждения не были абстрактными, необходимо знать, существуют ли безрисковые ценные бумаги в действительное! и. Оказывается, на финансовых рынках США подобных ценных бумаг не существует. ?

Безрисковая пенная бумага обеспечивает инвестору определенную прибыль за конкретный инвестинионныЙ срок. Поскольку инвестор заинтересован в сохранении покупательной способности своих ин-веепший, доход по безрисковой бумаге должен быть вычислен с учетом инфляции.

Как уже упоминалось, хотя казначейские це н н ые бум ant С ША имеют п ракти чески нулевой риск неуплаты,; все же они не о бе с печиваюг бе зри сково го ре альн ого дохода, Возврат основной суммы и п р о це н-тон не учитывает инфляцию, возрастающую 1 период обращения ценной бумаги. В результате непредвиденная инфляция изменяет реальный доход, ожидаемый но время по-:: купки ценной бумаги. .

Предположим, однако, что уровень ин-фдяиии невысок и предсказусм.,:.УДУ1<Ш: казначейские бумаги обеспечивать инвес го-