Ставка/ 2 в коэффициенте дисконтирования называется форвардной ставкой (forward rate) от первого до второго года, т.е. это ставка в коэффициенте дисконтирования, которая используется для определения стоимости доллара через год при условии, что этот доллар будет получен через два года. В рассмотренном примере $1, получаемый через два года, эквивалентен величине $1/1,0901 = $0,9174, получаемой через один год (еще раз обратите внимание на то, что приведенная стоимость суммы в $0,9174 равна $0,9174/1,07, т.е. $0,8573).

Математически связь между годовой спот-ставкой, двухгодовой спот-ставкой и годовой форвардной ставкой записывается следующим образом:

51/(1 + / 2) $1

0 + *i) (l + s2f

что может быть переписано так:

0 + /.,2):

(1+*2)

(l + *l)(l+/l.2) = U + *2)

(5.15)

(5.16)

(5.17)

Рисунок 5.1 иллюстрирует эти вычисления с помощью рассмотренного выше примера, а затем делается обобщение.

В более общем виде для спот-ставок в годы г - 1 и t связь с форвардной ставкой между годами t - 1 и г такова:

(1 + s,)1

(l+Vi)~x(l+/,4,) = (!+*,).

(5.19)

Сейчас

1 год

2 года

Пример:

(1,07) (1 + f,2) = (1,08)! ft2 = [(1,08)7(1,07)) - 1 = 9,01 /

Обобщение:

(1 + S,) (1 + f,2) = (1 + S,)2 f = [(1 +5,17(1 +S,)) - 1

Рис. 5.1. Спот-ставки и форвардные ставки

Но существует и другая интерпретация форвардных ставок. Рассмотрим заключаемый сейчас контракт на заем денег через год и возвращение их через два года. Такой контракт называется форвардным контрактом. Процентная ставка по одногодичному займу, указываемая сейчас в таком контракте (заметьте, что проценты должны быть выплачены по истечении контракта, т.е. через два года), будет определяться как форвардная ставка.

Важно различать эту ставку и ставку по одногодичным займам, которая установится через год (спот-ставка через год). Форвардная ставка применяется к контракту, заключаемому сейчас, но относится к будущему периоду времени. После заключения контракта условия становятся неизменными, несмотря на то, что сама сделка произойдет позднее. Если вместо заключения форвардного контракта сейчас ждать наступления следующего года и затем подписывать контракт на заем денег по спот-ставкам, которые тогда установятся, то условия могут оказаться как лучше, так и хуже, чем сегодняшняя форвардная ставка, так как будущую спот-ставку невозможно точно предсказать.

В рассмотренном выше примере на рынке установилась такая цена на казначейские ценные бумаги, что инвестор, покупающий ценную бумагу со сроком обращения два года, потребует процентную ставку, равную двухгодовой спот-ставке в 8%, т.е. инвестора будут устраивать следующие условия: 1) годичный заем правительства по процентной ставке, равной годовой спот-ставке в 7%; 2) форвардный контракт с правительством на заем правительством денег через год и получение их обратно через два года по форвардной процентной ставке 9,01%.

Рассмотренные форвардные контракты являются неявными. Однако иногда форвардные контракты заключаются явным образом. Например, можно получить обязательство от банка на предоставление ему годичного займа, который будет возвращен через год по заранее определенной фиксированной ставке. Финансовые фьючерсные рынки (обсуждаемые в гл. 21) предоставляют стандартные форвардные контракты такого типа. Например, в сентябре можно заключить контракт, по которому требуется заплатить $970 в декабре для покупки 90-дпевного казначейского векселя с выплатой $1000 в марте.

Уравнение (5.12) показывает, как может вычисляться коэффициент дисконтирования для глет через r-летнюю спот-ставку. В частности, двухгодовой коэффициент дисконтирования, связанный с 8%-ной двухгодовой спот-ставкой, равен 1/(1 + 0,08)2 = 0,8573.

Уравнение (5.17) предлагает эквивалентный метод вычисления коэффициентов дисконтирования. При вычислении двухгодового коэффициента дисконтирования необходимо воспользоваться формулой:

Форвардные ставки и коэффициенты дисконтирования

(1+*,)х(1+Д2)

(5.20)

(1+0,07)х(1 + 0,0901)

= 0,8573.

В результате коэффициент дисконтирования для года г, являющийся членом уравнения (5.12), может быть выражен следующим образом:

d = 1

-(1 + 1)-1х(1+/,ч,)- <5-21>

Таким образом, имея набор спот-ставок, можно определить рыночную функцию дисконтирования любым из этих двух способов - результат будет одинаковый. В первом случае спот-ставки используются в уравнении (5.12) для получения набора коэффициентов дисконтирования. Во втором случае спот-ставки используются для определения набора форвардных ставок, а затем путем внесения в уравнение (5.21) спот-ставок и форвардных ставок определяется набор коэффициентов дисконтирования.

Начисление сложных процентов

До сих пор при обсуждении процентных ставок предполагалось, что выплаты процентов происходят ежегодно. Часто подобный подход является адекватным, но для более точных подсчетов желательны более короткие промежутки времени. Более того, некоторые кредиторы производят перерасчет процентов несколько раз в год.

Начисление сложных процентов (compounding) - это выплата процентов на проценты. В конце каждого периода начисления процентов к основной сумме долга добавляются проценты. За следующий период проценты начисляются исходя из увеличенной суммы основного долга. Этот процесс продолжается до окончания последнего интервала такого начисления.

Рассмотренные ранее формулы можно применить для расчета сложных процентов за интервалы времени, кратные одному году. Для упрощения процедуры можно вести расчеты в единицах выбранных периодов начисления. Например, доходность к погашению может быть подсчитана для любого выбранного интервала времени инвестирования. Если вклад Р долларов обернется получением F долларов через десять лет, то доходность к погашению может быть рассчитана при ежегодном начислении сложных процентов из следующего уравнения:

P(\+ra)l0 = F, (5.22)

так как Сбудет получена через десять годовых периодов. Результат (га) будет означать годовую ставку процента при ежегодном начислении сложных процентов.

Аналогично доходность к погашению может быть рассчитана при полугодовом начислении сложных процентов из уравнения:

P(l + rs)20 = F, (5.23)

так как Fбудет получена через 20 полугодовых периодов. Результат (г ) будет означать полугодовую ставку при начислении сложных процентов каждые полгода. Она может быть удвоена для получения годовой ставки с полугодовым начислением. Аналогично годовая ставка (г ) при ежегодном начислении сложных процентов может быть рассчитана при вычислении ставки г из следующего уравнения:

l + ra=(\+rs)2. (5.24)

Например, рассмотрим инвестицию, стоящую $2315,97, которая принесет $5000 через десять лет. Применяя уравнения (5.22) и (5.23), получаем: