ет распределение доходности акций в той точке, где начинаются потери. Инвестору,: таким образом, принадлежит только хорошая , или правая, сторона в распределении доходности. Соответственно доходность опциона на покупку по определению не является нормально распределенной.

Кроме того, некоторые пенные бумаги имеют включенные в них опционы. Например, отзывные облигации (см. гл. 14) поз-воляют эмитентам осуществить их погашение по своему усмотрению. Они делают это только тогда, когда процентная ставка изменяется в их пользу. Жилищная ипотека (см. гл. Н) имеет похожие свойства по предоплате. Поэтому ее доходность также не является нормально распределенной.

Если мы хотим при определении и измерений риска принять во внимание только вероятность нежелательных результатов инвестирования, то какие альтернативы (стандартному отклонению. - Ред.) возможны? Простейшим ответом является вероят-ность недобора . Она измеряет шансы на то, что доходность ценной бумаги окажется Ниже ожидаемой доходности. По существу, это доля вероятностного распределения, лежащая слева от ожидаемой доходности.

Более сложные измерения риска получения доходности ниже ожидаемой производятся с помощью семейства статистических данных, известных как частичные моменты таких порядков. Например, средний недобор измеряет среднее отклонение доходности ценной бумаги вниз от ожидаемой доходности. Средний недобор является более полезным, чем вероятность недобора, так как он принимает во внимание величину каждого отрицательного отклонения. В то время как вероятность недобора показывает нам только, насколько вероятно, что доходность ценной бумаги может упасть ниже ожидаемой доходности, средний недобор показывает, какова может быть величина уменьшения относительно ожидаемой доходности.

Полудисперсия является аналогом дисперсии, но в ее вычислении используются только те возможные доходности, которые лежат ниже ожидаемой доходности. Так как полудисперсия является среднеквадратич-

ным отклонением вниз от ожидаемой доходя осги. она Сн ижасг прийлекатеяь:нОсть пенных бумаг с относительно высоким потенциальным, недобором: :

Применительно к ценным бумагам, доходность по которым имеет распределение, отличающееся от нормального (и логнор-мал ьного ;}:, эти измер ители риска не толь ко более приемлемы интуитивно, но и более гибки, чем традиционные измерители риска; Стандартное отклонение измеряется на основе средней величины распределения доходности. Однако инвестор может захотеть оценить и 1 тести ни и. и спол ьзуя какую-либо величину как цель, например доходность на индекс рынка, иди просто число, такое, как 0%. Измеритель риска понесения убытков может учитывать все эти предпочтения.

Однако использование измерителей риска понесения убытков создает некоторые проблемы. В частности, они игнорируют возможность получения результатов, превышающих целевую доходность. Альтернативой использования этих измерителей риска является прямой учет смещенности при оценке инвестиций. В качестве альтернативы мы можем предположить, что инвестор анализирует потенциальные инвестиции, не только исходя из их ожидаемых доходностей и стандартных отклонений, но и с точки зрения величины их смешения вправо. В сущности, риск становится многомерным, так как он включает и стандартное отклонение, и смещенность. Если Две инвестиции имеют одинаковую ожидаемую доходность и одинаковое стандартное отклонение, то предпочтение отдается инвестиции, наиболее смещенной вправо. ,

Ни от одной меры риска нельзя ожидать, что она будет показывать точные результаты в любых обстоятельствах. Стандартное отклонение доказало свою эффективность в большинстве ситуаций, с которыми сталкиваются практики. В тех случаях, когда оно не является адекватной мерой, альтернативы должны рассматриваться не только в свете того, как хорошо они описывают распределение доходности, но и с точки зрения сложностей, которые они вносят в анализ.

Формула для вычисления стандартного отклонения

Теперь рассмотрим, как вычисляется стандартное отклонение портфеля. Для портфеля, состоящего из трех ценных бумаг (Able. Baker и Charlie), формула выглядит следующим образом:

з з

(7.4)

где о/у обозначает ковариацию (covariance) доходностей ценных бумаг / и j. Ковариация

Что такое ковариация? Это статистическая мера взаимодействия двух случайных переменных. То есть это мера того, насколько две случайные переменные, такие, например, как доходности двух ценных бумаг / и j, зависят друг от друга. Положительное значение ковариации показывает, что доходности этих ценных бумаг имеют тенденцию изменяться в одну сторону, например лучшая, чем ожидаемая, доходность одной из ценных бумаг должна, вероятно, повлечь за собой лучшую, чем ожидаемая, доходность другой ценной бумаги. Отрицательная ковариация показывает, что доходности имеют тенденцию компенсировать друг друга, например лучшая, чем ожидаемая, доходность одной ценной бумаги сопровождается, как правило, худшей, чем ожидаемая, доходностью другой ценной бумаги. Относительно небольшое или нулевое значение ковариации показывает, что связь между доходностью этих ценных бумаг слаба либо отсутствует вообще.

Корреляция

Очень близкой к ковариации является статистическая мера, известная как корреляция. На самом деле, ковариация двух случайных переменных равна корреляции между ними, умноженной на произведение их стандартных отклонений:

ент корреляции нормирует ковариацию для облегчения сравнения с другими парами случайных переменных.

Коэффициент корреляции всегда лежит в интервале между -1 и +1. Если он равен - 1, то это означает полную отрицательную корреляцию, если +1 - полную положительную корреляцию. В большинстве случаев он находится между этими двумя экстремальными значениями.

Рисунок 7.6 (а) представляет собой точечную диаграмму доходностей гипотетических ценных бумаг А и 5, когда корреляция между двумя этими ценными бумагами полностью положительна. Заметим, что все точки лежат на прямой наклонной линии, идущей из левого нижнего квадранта в правый верхний. Это означает, что когда одна из двух ценных бумаг имеет относительно высокую доходность, тогда и другая ценная бумага имеет относительно высокую доходность. Соответственно, когда одна из двух ценных бумаг имеет относительно низкую доходность, тогда и другая имеет относительно низкую доходность.

Однако корреляция между доходностями двух различных ценных бумаг будет абсолютно отрицательной, когда точечная диаграмма показывает, что точки лежат именно на прямой наклонной линии, идущей из левого верхнего квадранта в правый нижний, как это показано на рис. 7.6 (б). В данном случае можно сказать, что доходности двух ценных бумаг изменяются противоположно друг другу. То есть когда одна из ценных бумаг имеет относительно высокую доходность, другая имеет относительно низкую доходность.

Особый случай возникает, когда точечная диаграмма доходности ценных бумаг показывает разброс точек, который даже приблизительно не может быть представлен

прямыми наклонными линиями. В таком случае делается вывод о некоррелированности доходностей, т.е. о равенстве нулю коэффициента корреляции. Рис. 7.6 (в) представляет данный пример. В такой ситуации, когда одна из ценных бумаг имеет относительно высокую доходность, другая может иметь и относительно высокую, и относительно низкую, и среднюю доходности.

Рис. 7.6. Доходность двух ценных бумаг

Двойное суммирование

Рассматривая, что такое ковариация и корреляция, очень важно понимать, как производится двойное суммирование, используемое в уравнении (7.4). Хотя существует много способов двойного суммирования, приводящих к одному и тому же результату, один из способов, возможно, представляется более подходящим, чем другие. Он начинается с первого суммирования и присвоения / значения 1. Затем выполняется второе суммирование с последовательным присвоением j значений от 1 до 3. В этот момент / в первом суммировании увеличивается на 1, следовательно, теперь / = 2. Опять производится второе суммирование для всех j от I до 3, но только теперь / = 2. Далее / в первом суммировании увеличивается на 1, т.е. / = 3. Затем еще раз выполняется второе суммирование для всех j от 1 до 3. В данный момент нужно заметить, что / и j достигли своего верхнего предела, равного 3. Это означает, что настало время остановиться, так как двойное суммирование уже закончено. Этот процесс может быть представлен алгебраически следующим образом:

5л vly+E*.

2XjC2j +

5>з*у<

(7.6а)

= \.Х\ Х\ °11 + Х\ Х1 °12 + Х\ Х1 °13 +

+ Х2 Хх а, + Х2 Х2 о22 + Х2 Х3 а23 + + X3Xla3l +XlX1on+X,XloJn.

(7.66)