Каждый член двойной суммы включает в себя произведение весов двух ценных бумаг, I и I, и ковариации этих двух ценных бумаг. Заметим, что нужно сложить девять членов, для того чтобы вычислить стандартное отклонение портфеля, состоящего из трех ценных бумаг. То, что количество членов, которые нужно просуммировать (9), равно числу ценных бумаг, возведенному в квадрат (З2), не является простым совпадением.

В общем случае вычисление стандартного отклонения портфеля, состоящего из N ценных бумаг, требует двойного суммирования N ценных бумаг, для чего необходимо сложить N2 членов:

/=1 ;=1

(7.7)

Интересное свойство двойных сумм проявляется, когда индексы / и j относятся к одной ценной бумаге. В уравнении (7.6) такая ситуация возникает в первом (XiXlau), пятом (Х2Х2а22) и девятом (Х}Х}ап) членах. Что же это означает, если индексы при вычислении ковариации относятся к одной ценной бумаге? Например, рассмотрим первую ценную бумагу (Able) и случай, когда / = j = 1. Так как аи обозначает ковариацию ценной бумаги номер один (Able) с ценной бумагой номер один (Able), уравнение (7.5) имеет вид:

° ii = Piicti° i <7-8)

Так как мы имеем корреляцию ценной бумаги с самой собой, то можно показать, что рп равен +110. Это означает, что уравнение (7.8) приводится к следующему виду:

О = 1 XOj х о, = of ,

что является стандартным отклонением ценной бумаги, возведенным в квадрат, известным как дисперсия ценной бумаги. Таким образом, в двойном суммировании используются и дисперсии, и ковариации.

Ковариационная матрица

Как пример рассмотрим следующую ковариационную матрицу (variance-covariance matrix) акций компаний Able, Baker и Charlie:

Колонка! Колонка2 Колонка3

Элемент, находящийся в ячейке (/, j), обозначает ковариацию между ценными бумагами / и j. Например, элемент в ячейке (1,3) обозначает ковариацию между первой и третьей ценными бумагами, которая в данном случае равна 145. Элемент в ячейке (/, /) обозначает дисперсию /-ой ценной бумаги. Например, дисперсия второй ценной бумаги находится в ячейке (2,2) и равняется 854. Стандартное отклонение любого портфеля, состоящего из инвестиций в акции компаний Able, Baker и Charlie, может быть вычислено с помощью ковариационной матрицы и формулы, приведенной в уравнении (7.66).

Например, рассмотрим портфель, приведенный в табл. 7.2, который имеет следующие пропорции: Хх = 0,2325, X, = 0,4070, Х} = 0,3605:

Краткие выводы

1. Подход Марковича к проблеме выбора портфеля предполагает, что инвестор старается решить две проблемы: максимизировать ожидаемую доходность при заданном уровне риска и минимизировать неопределенность (риск) при заданном уровне ожидаемой доходности.

2. Ожидаемая доходность служит мерой потенциального вознаграждения, связанного с портфелем. Стандартное отклонение рассматривается как мера риска портфеля.

3. Кривая безразличия представляет собой различные комбинации риска и доходности, которые инвестор считает равноценными.

4. Предполагается, что инвесторы рассматривают любой портфель, лежащий на кривой безразличия выше и левее, как более ценный, чем портфель, лежащий на кривой безразличия, проходящей ниже и правее.

о =[AiAjo +XlX2at2+XtXiaB+ + X2Xla2l+X2X2a22+X2Xia2i+ + X2Xlail+XiX2ai2 + XiXiai3] = = [(0,2325 x 0,2325 x 146) + (0,2325 x 0,4070 x 187) + + (0,2325 x 0,3605 x 145) +

+ (0,4070 x 0,2325 x 187) + (0,4070 x 0,4070 x 854) + + (0,4070 x 0,3605 x 104) +

+ (0,3605 x 0,2325 x 145) + (0,3605 x 0,4070 x 104) + + (0,3605 x 0,3605 x 289)]1/2 = = [277,13]1/2 = = 16,65%.

Следует отметить некоторые интересные свойства ковариационной матрицы. Во-первых, матрица является квадратной, т.е. количество столбцов равняется количеству строк, а общее число ячеек для N ценных бумаг равняется N2.

Во-вторых, дисперсии ценных бумаг лежат на диагонали матрицы, которая представляет собой ячейки, лежащие на линии, проходящей из левого верхнего угла матрицы в правый нижний угол. В предыдущем примере дисперсия первой ценной бумаги (146) лежала на пересечении первой строки и первого столбца. Соответственно дисперсия второй ценной бумаги (854) лежала на пересечении второго столбца со второй строкой, а третьей (289) - на пересечении третьего столбца с третьей строкой.

В-третьих, матрица является симметричной. Это означает, что элемент, расположенный в /-ой строкеу-ого столбца равен элементу, расположенному ву-ой строке /-ого столбца. То есть элементы ячеек, расположенных над диагональю, повторяются в соответствующих ячейках, расположенных под диагональю. Из предыдущего примера видно, что элемент из первой строки второго столбца (187) равен элементу второй строки первого столбца. Соответственно 145 появляется и в первой строке третьего столбца, и в третьей строке первого столбца, а 104 появляется и во второй строке третьего столбца, и в третьей строке второго столбца. Это свойство имеет простое объяснение: кова-риация между двумя ценными бумагами не зависит от порядка, в котором эти две бумаги упоминаются. Это означает, что, например, ковариация между первой и второй ценной бумагами является такой же, как и ковариация между второй и первой .

5. Предположения о ненасыщаемости и избегании риска инвестором выражаются в том, что кривые безразличия имеют положительный наклон и выпуклы.

6. Ожидаемая доходность портфеля является средневзвешенной ожидаемой доходностью ценных бумаг, входящих в портфель. В качестве весов служат относительные пропорции ценных бумаг, входящих в портфель.

7. Ковариация и корреляция измеряют степень согласованности изменений значений двух случайных переменных.

8. Стандартное отклонение портфеля зависит от стандартных отклонений и пропорций входящих в портфель ценных бумаг и, кроме того, от ковариации их друг с другом.

Вопросы и задачи

1. Ниже приводится список некоторого количества портфелей с их ожидаемыми доход-ностями, стандартными отклонениями и уровнем полезности (измеряемым в условных единицах), которые были рассмотрены Арки Боном. Исходя из этой информации необходимо построить график кривых безразличия инвестора Арки.

Портфель Ожидаемая Стандартное Полезность

доходность(в %) отклонение (в %)

2. Почему делается предположение, что кривые безразличия наклонны и направлены вверх и вправо?

3. Что говорит набор выпуклых кривых безразличия об оценке инвестором соотношения риска и доходности для различных значений риска?

4. Почему предполагается, что типичный инвестор предпочитает портфель, расположенный на кривой безразличия выше и левее?

5. Что означает заявление, что инвестор, избегающий риска, демонстрирует уменьшение предельной полезности дохода ? Почему уменьшение предельной полезности приводит к тому, что инвестор отказывается принять условия честного пари ?

6. Объясните, почему кривые безразличия инвестора не могут пересекаться?

7. Почему кривые безразличия инвестора, избегающего риска в большей степени, имеют более крутой наклон, чем кривые безразличия инвестора, избегающего риска в меньшей степени?

8. Рассмотрите наборы кривых безразличия двух инвесторов: Хока Вилсона и Кики Кайлера. Определите, кто (Хок или Кики):

а) больше избегает риска;

б) предпочитает инвестицию А инвестиции В;

в) предпочитает инвестицию С инвестиции D. Объясните, почему вы ответили таким образом.