ности акций является совокупность нормальных распределений; обсуждение вопроса см. в работе Richard Roll, Л2 , Journal of Finance, 43, no. 3 (July 1988), pp. 541-566 и примечании 11.

10 Вспомним то, что корреляция является мерой того, в какой степени изменение двух случайных переменных согласовано. Если две случайные переменные совпадают друг с другом, то изменение одной из них должно повлечь за собой точно такое же изменение другой. Визуально это может быть представлено изображением значений этой случайной величины в виде двухмерного графика с направляющими осями Хш Y, где по оси откладываются значения одной случайной величины, а по оси Y- другой. На таком графике все точки будут располагаться на прямой, имеющей наклон 45 градусов и проходящей через начало координат, что и соответствует коэффициенту корреляции, равному +1.

11 Любой ковариационной матрице соответствует корреляционная матрица, которая может быть определена по данным ковариационной матрицы и уравнению (7.5). С помощью данного уравнения можно показать, что корреляция между двумя ценными бумагами /и/равняется ау/а а. Значения а,а и а могут быть получены из ковариационной матрицы. Например, г2 = 187/(Vl46 xV854) = = 0,53.

12 Кроме того, можно показать, что для азартного инвестора эти кривые безразличия будут вогнуты, т.е. их угол наклона убывает при движении справа налево. Основное объяснение выпуклости вытекает из теории полезности, см. примечания 5 и 7.

Ключевые термины

период владения ожидаемая доходность риск

начальное благосостояние конечное благосостояние случайная переменная ожидаемое значение стандартное отклонение кривые безразличия ненасыщаемость

инвестор, избегающий риска азартный инвестор инвестор, нейтральный к риску вектор ожидаемой доходности распределение вероятностей нормальное распределение дисперсия (мера разброса) ковариация

коэффициент корреляции ковариационная матрица

Рекомендуемая литература

1. Основополагающая работа по развитию модели средних и дисперсий была проведена Гарри Марковицем - одним из нобелевских лауреатов по экономике 1990 г. Он развил свои идеи в статье и книге:

Harry М. Markowitz, Portfolio Selection*, Journal of Finance, 7, no. 1 (March 1952), pp. 77-91.

Harry M. Markowitz, Portfolio Selection: Efficient Diversification of Investments (New York: John Wiley, 1959).

2. Хотя теория полезности берет начало в работе Даниила Бернулли, опубликованной в начале XIX в., современная трактовка данной теории была развита в работах:

John von Neumann and Oskar Morgenstern, Theory of Games and Economic Behavior (New York: John Wiley, 1944).

Kenneth J. Arrow, Essays in the Theory of Risk-Bearing (Chicago: Markham, 1971).

3. Существенно отличающимся трудом по теории полезности является работа: Paul J.H. Schoemaker, The Expected Utility Model: Its Variants, Purposes, Evidence and Limitations*, Journal of Economic Literature, 20, no. 2 (June 1982), pp. 529-563.

4. В качестве введения в теорию неопределенности и полезности см. работы: Mark P.Kritzman, ...About Uncertainty*, Financial Analysts Journal, 47, no. 2 (March/ April 1991), pp. 17-21.

Mark P. Kritzman, ...About Utility , Finance Analysts Journal, 48, no. 3 (May/June 1992), pp. 17-20.

Г лава 8

Портфельный анализ

В предыдущей главе была рассмотрена проблема выбора портфеля, с которой сталкивается каждый инвестор. Кроме того, в ней был представлен подход Гарри Мар-ковица к решению данной проблемы. При таком подходе инвестор должен оценить альтернативные портфели с точки зрения их ожидаемых доходностей и стандартных отклонений, используя кривые безразличия. В случае избегания риска инвестором портфель, лежащий на кривой безразличия, проходящей выше и левее остальных кривых, будет выбран для инвестирования.

Однако предыдущая глава оставила некоторые вопросы без ответов. В частности, как можно использовать подход Марковица, если существует бесконечное число возможных инвестиционных портфелей? Что произойдет, если инвестор будет рассматривать набор ценных бумаг для инвестирования, одна из которых является безрисковой? Что произойдет, если инвестор будет иметь возможность купить ценные бумаги по предельной цене? В данной и в следующей главах даны ответы на эти вопросы, начиная с первого.

Н Теорема об эффективном множестве

Как было отмечено ранее, из набора N ценных бумаг можно сформировать бесконечное число портфелей. Рассмотрим ситуацию с компаниями Able, Baker и Charlie, когда N равно трем. Инвестор может купить или только акции компании Able, или только акции компании Baker, или некоторую комбинацию акций двух компаний. Например, он может вложить половину средств в одну, а половину в другую компанию, или 75% в одну, а 25% в другую, или же 33% и 67% соответственно. В конечном счете инвестор может вложить любой процент (от 0% до 100%) в первую компанию, а остаток во вторую. Даже без рассмотрения акций компании Charlie, существует бесконечное число возможных портфелей для инвестирования1.

Необходимо ли инвестору проводить оценку всех этих портфелей? К счастью, ответом на этот вопрос является нет . Объяснение того факта, что инвестор должен рассмотреть только подмножество возможных портфелей, содержится в следующей теореме об эффективном множестве (efficient set theorem):

Инвестор выберет свой оптимальный портфель из множества портфелей, каждый из которых;

1. Обеспечивает максимальную ожидаемую доходность для некоторого уровня

2. Обеспечивает минимальный риск для некоторого значения ожидаемой доходности.