8.2.1 Границы местоположения портфелей

Теперь рассмотрим все возможные портфели, состоящие из этих ценных бумаг, которые может купить инвестор. Пусть Хх обозначает долю фондов инвестора, вложенную в Ark Shipping, а Х2 = I - X, - долю, инвестированную в Gold Jewelry. Таким образом, если инвестор покупает только акции Ark Shipping, то Х{ = I и Х2 = 0. Если же инвестор покупает только акции Gold Jewelry, то Х{ = 0, а Х2 = I. Комбинация из 0,17 Ark Shippings. 0,83 Gold Jewelry также возможна, как и комбинация из 0,33 и 0,67 соответственно или 0,5 и 0,5 соответственно. Хотя существует много других возможных портфелей, нами будет рассмотрено только семь из них:

Портфель Портфель Портфель Портфель Портфель Портфель Портфель

Для того чтобы рассмотреть возможные инвестиции в эти семь портфелей, необходимо вычислить их ожидаемые доходности и стандартные отклонения. Мы имеем всю необходимую информацию для вычисления ожидаемых доходностей этих портфелей согласно уравнению (7.3а):

r,= Е V/= Е X,r, = Xl гх+Х2гг х5%) + (Х2х\5%).

(7.3а)

Для портфелей А и Сданные вычисления тривиальны, так как инвестор покупает акции только одной компании. Таким образом, ожидаемые доходности составляют 5 и 15% соответственно. Для портфелей В, С, D, Е и / ожидаемые доходности соответственно равны:

~гв = (0,83x5%) + (0,17 х 15%) = 6,70%;

7 с = (0,67 х 5%) + (0,33 х 15%) = 8,30%;

70 = (0,50x5%) +(0,50 х 15%)= 10%;

~гЕ = (0,33 х 5%) + (0,67 х 15%) = 11,70%;

~rF = (0,17х 5%) + (0,83х 15%)= 13,30%.

Для вычисления стандартных отклонений данных портфелей необходимо применить уравнение (7.7):

л- n

i= i j= l

: i y- i

-[x,X,au +X,X2al2+X2X,a2l + X2X2a22]1/2 -

= H°.+ + 2№i2],/2 =

[x] x 20%2) + [x] x40%2) + 2XlX2al

(7.7)

Для портфелей А и Сданные вычисления опять будут тривиальными, так как инвестор приобретает акции только одной компании. Таким образом, стандартное отклонение будет составлять 20 и 40% соответственно.

Для портфелей В, С, D, Е и F применение уравнения (7.7) показывает, что стандартное отклонение зависит от значения ковариации между двумя ценными бумагами. Как показано в уравнении (7.5), этот ковариационный член равняется корреляции между двумя ценными бумагами, умноженной на произведение их стандартных отклонений:

о\, = р,.ухо\хо\. (7.5)

Полагая / = 1 и j = 2, получим:

°i2 = P12 х о, х с2 = р12 х 20% х 40% = 800р12.

Это означает, что стандартное отклонение любого портфеля, составленного из акций Ark Shipping и Gold Jewelry, может быть выражено следующим образом:

[х] х 20%2) + [х22 х40%2) + (2Х{Х2 х 800р12) = [400 + 1600JT2, + 1600Jr,2p12]1/2.

1/2

(8.1)

Рассмотрим вначале портфель D. Значение стандартного отклонения данного портфеля будет лежать в интервале между 10 и 30%, его точное значение зависит от величины коэффициента корреляции. Как же были определены данные границы в 10 и 30%? Для начала отметим, что для портфеля D уравнение (8.1) приводится к следующему виду:

ад = [(400 х 0,25 + 1600 х 0,25) + (1600 х 0,5 х 0,5р )]1/2 =

= [500 + 400р12]1/2. (82)

Изучение уравнения (8.2) показывает, что ад будет минимальной тогда, когда коэффициент корреляции будет минимальным. Теперь вспомним, что минимальным значением коэффициента корреляции является -1, отсюда можно увидеть, что нижняя граница величины ад будет такова:

а0 = [500 + 400 х (-1)Г2= [500 - 400]/2 = [ЮО]12 = 10%. Аналогично, изучение уравнения (8.2) показывает, что о0 будет максимальным, когда коэффициент корреляции будет максимальным, т.е. равным 1. Таким образом, верхняя граница величины oD будет такова:

сд = [500 + (400 х 1)]/2= [500 + 400]/2 = [900]1/2 = 30%. В общем случае, как это можно заметить из уравнения (8.1), для любого заданного набора весов Jf, и Х2 нижние и верхние границы будут достигаться при равенстве коэффициента корреляции величинам -1 и 1 соответственно. Подобный анализ других портфелей показывает, что их верхние и нижние границы равняются следующим значениям:

Стандартное отклонение портфеля

Данные значения показаны на рис. 8.5.

Интересен тот факт, что все верхние пограничные значения лежат на прямой линии, соединяющей точки А и G. Это означает, что любой портфель, составленный из этих двух бумаг, не может иметь стандартное отклонение, соответствующее точке, лежащей правее прямой линии, соединяющей эти две ценные бумаги. Вместо этого значение стандартного отклонения должно лежать на этой прямой линии или левее нее. Это означает желательность диверсификации портфеля. А именно, диверсификация ведет к уменьшению риска, так как стандартное отклонение портфеля будет в общем случае меньше, чем средневзвешенное стандартное отклонение бумаг, входящих в портфель.

Также интересно наблюдение о том, что все нижние пограничные значения лежат на одном из двух отрезков, идущих из точки А до точки на вертикальной оси, соответствующей значению в 8,30%, а оттуда - до точки G. Это означает, что любой портфель, составленный из данных ценных бумаг, не может иметь стандартное отклонение, изображаемое точкой, лежащей левее любого из этих двух отрезков линии. Например, портфель В должен лежать на горизонтальной линии, проходящей через вертикальную ось в точке 6,70%, но ограниченную значениями в 10 и 23,33%.

В заключение можно сказать, что любой портфель, состоящий из этих двух ценных бумаг, лежит в пределах границ треугольника, изображенного на рис. 8.5. Его фактическое местоположение зависит от значения коэффицента корреляции между этими двумя ценными бумагами.

8.2.2 Фактическое местоположение портфелей

Что происходит, если корреляция равняется нулю? В этом случае уравнение (8.1) можно привести к следующему виду:

op = [шх] + 1600*j + 1600*,*, х о)1/2 = [шх] + 1600)1/2.

Используя соответствующие значения весов Х{ и Х2, стандартное отклонение портфелей В, С, D, Е и F можно вычислить следующим образом:

ов = [(400 х 0,832) + (1600 х 0,172)]/2 = 17,94%; ос = [(400 х 0,672) + (1600 х 0,332)]/2 = 18,81%; ой = [(400 х 0,502) + (1600 х 0,502)]/2 = 22,36%; о£ = [(400 х 0,332) + (1600 х 0,672)]/2 = 27,60%; о> = [(400 х 0,172) + (1600 х 0,832)]/2 = 33,37%.

Рисунок 8.6 показывает местоположение данных портфелей вместе с верхними и нижними пограничными значениями, которые были представлены на рис. 8.5. Как можно заметить, эти портфели, так же как и все остальные возможные портфели, состоящие из акций Ark Shipping и Gold Jewelry, лежат на изогнутой линии, наклоненной влево. Хотя это и не показано здесь, если корреляция будет меньше нуля, то данная линия сильнее изогнется влево. Если корреляция будет больше нуля, она не изогнется так сильно влево. Важно отметить, что, пока корреляция остается больше -1 и меньше 1, линия, представляющая множество портфелей, состоящих из различных комбинаций двух ценных бумаг, будет иметь некоторую степень кривизны влево. Кроме того, ее верхняя левая часть будет вогнутой.

Аналогичный анализ может быть проведен в ситуации, когда рассматриваются больше чем две ценные бумаги. После проведения анализа, можно сделать заключение о том, что, пока корреляция остается меньше 1 и больше -1, верхняя левая часть кривой должна быть вогнута, как это было в случае двух ценных бумаг . Таким образом, в общем случае эффективное множество будет вогнутым.