Рис. 8.13. Угловые портфели

Таким образом, веса распределены следующим образом: 0,61 - в акции Вакег и 0,39 - в акции Charlie. Используя уравнения (7.3а) и (7.7), можно вычислить ожидаемую доходность и стандартное отклонение данного портфеля, которые составляют 23,9 и 20,28% соответственно.

Определив второй угловой портфель, алгоритм затем определяет третий. Он имеет следующий состав:

*(3) =

0,84 0,00 0,16

Эти веса теперь могут быть использованы для вычисления ожидаемой доходности и стандартного отклонения даного портфеля, которые равны соответственно 17,26 и 12,22%. Как и два предыдущих, данный угловой портфель является эффективным и обозначается С(3) на рис. 8.13.

Поскольку второй и третий портфели являются смежными, то любая их комбинация является эффективным портфелем, лежащим в эффективном множестве между двумя данными. Например, если инвестор вкладывает 33% своих фондов во второй угловой портфель, а 67% - в третий, то в результате получается эффективный портфель со следующим составом:

Используя уравнения (7.3а) и (7.7), можно показать, что данный портфель имеет ожидаемую доходность 19,10% и стандартное отклонение 12,88%.

Ранее отмечалось, что только комбинация угловых смежных портфелей может дать эффективный портфель. Это означает, что портфели, представляющие собой комбинацию двух несмежных угловых портфелей, не будут принадлежать эффективному множеству. Например, первый и третий угловые портфели не являются смежными, следовательно, любой портфель, представляющий собой комбинацию двух данных, не будет являться эффективным. Например, если инвестор вложит 50% своих фондов в первый угловой портфель, и 50% - в третий, то результирующий портфель будет иметь следующий состав:

Можно показать, что при данных весах ожидаемая доходность и стандартное отклонение данного портфеля равны 20,93 и 18,38% соответственно. Однако это неэффективный портфель. Так как его ожидаемая доходность (20,93%) лежит между ожидаемой доходностью второго (23,20%) и третьего (17,26%) угловых портфелей, то с помощью комбинации этих двух смежных портфелей инвестор имеет возможность сформировать эффективный портфель, имеющий такую же ожидаемую доходность, но меньшее стандартное отклонение15.

Далее алгоритм определяет состав четвертого углового портфеля:

Х(4) =

0,99 0,00 0,01

Можно вычислить его ожидаемую доходность и стандартное отклонение, которые равны 16,27% и 12,08% соответственно. Определив данный портфель, соответствующий точке Ена. рис. 8.1 (и С(4) на рис. 8.13), имеющий наименьшее стандартное отклонение из всех достижимых портфелей, алгоритм останавливается. Четыре угловых портфеля, объединенных в табл. 8.1, полностью описывают эффективное множество, связанное с акциями Able, Baker и Charlie.

Изображение графика данного эффективного множества является простой задачей для компьютера, обладающего высокими графическими возможностями. Он может определить состав и соответственно ожидаемые доходности и стандартные отклонения каждого из 20 эффективных портфелей, равномерно распределенных между первым и вторым угловыми портфелями. Затем он последовательно соединит отрезками точки, соответствующие данным портфелям. Это придаст графику вид изогнутой линии, показанной на рис. 8.13, так как данные портфели расположены близко друг к другу.

Таблица 8.1

Угловые портфели в случае трех ценных бумаг

Веса Угловые портфели

Угловые Able Baker Charlie Ожидаемая Стандартное

портфели доходность отклонение

С(1) 0,00 1,00 0,00 24,60% 29,22%

С(2) 0,00 0,22 0,78 23,20 15,90

С(3) 0,84 0,00 0,16 17,26 12,22

С(4) 0,99 0,00 0,01 16,27 12,08

Продолжая в том же духе, можно построить 20 эффективных портфелей между вторым и третьим угловыми портфелями, а затем соответствующий сегмент эффективного множества. После того как данная процедура будет выполнена для следующего промежутка между третьим и четвертым угловыми портфелями, график будет полностью построен.

Qjl Определение состава оптимального портфеля

После того как были определены структура и местоположение эффективного множества Марковица, можно определить состав оптимального портфеля инвестора. Портфель, обозначенный как О* на рис. 8.2, соответствует точке касания кривых безразличия инвестора с эффективным множеством. Процедура определения состава оптимального портфеля начинается с графического определения инвестором уровня его ожидаемой доходности. То есть из графика инвестор может определить, где располагается О*, а затем с помощью линейки отметить его ожидаемую доходность. Для этого следует провести из точки О линию, перпендикулярную вертикальной оси (с помощью компьютера это можно сделать значительно более точно).

Проведя данную операцию, инвестор теперь может определить два угловых портфеля с ожидаемыми доходностями, окружающими данный уровень. То есть инвестор может определить угловой портфель, который имеет ближайшую ожидаемую доходность, большую, чем у данного портфеля (ближайший угловой портфель, расположенный выше О), и угловой портфель с ближайшей, меньшей ожидаемой доходностью (ближайший угловой портфель, расположенный ниже О).

Если ожидаемая доходность оптимального портфеля обозначена как 7 * и ожидаемые доходности двух ближайших угловых портфелей обозначены как 7 и 7Ь соответственно, тогда состав оптимального портфеля может быть определен с помощью решения следующего уравнения относительно Y:

7* = (7 х Y) + [7 х (1 - Y)]. (8.13)

Оптимальный портфель будет состоять из доли Y, инвестированной в ближайший угловой портфель, находящийся выше оптимального, и доли 1 - Y, инвестированной в ближайший угловой портфель, расположенный ниже оптимального.

Например, если оптимальный портфель имеет ожидаемую доходность в 20%, тогда можно заметить, что второй и третий угловые портфели являются верхним и нижним ближайшими угловыми портфелями, так как они имеют ожидаемую доходность в 23,20% и стандартное отклонение в 17,26%. Уравнение (8.13), таким образом, имеет следующий вид:

20% = (23,20% х Y) + [17,26% х (1 - Y)].

Решением данного уравнения является Y= 0,46. Это означает, что оптимальный портфель состоит на 46% из второго углового портфеля и на 54% из третьего углового портфеля. В терминах объема инвестиций в ценные бумаги компаний Able, Baker и Charlie данное утверждение принимает следующий вид:

Таким образом, инвестор должен вложить 45% своих фондов в акции Able, 10% - в акции Baker и 45% - в акции Charlie.