В качестве обобщения можно сказать, что если векторы весов ближайших верхних и нижних угловых портфелей обозначены X* и X соответственно, то веса отдельныхдген-ных бумаг, составляющих оптимальный портфель, равняются (Yx X ) + [(1 - Y) х X ].

Приложение Б

Исходные данные, необходимые для определения местоположения эффективного множества

Для того чтобы определить эффективное множество, инвестор должен оценить ожидаемые доходности всех рассматриваемых ценных бумаг, а также их дисперсии и ковариации. Далее, можно определить оптимальный портфель, найдя точку касания кривых безразличия инвестора с эффективным множеством, как это показано на рис. 8.2.

Для определения эффективного множества нужно сделать следующие шаги. Первое, нужно оценить ожидаемую доходность каждой ценной бумаги. Если рассматривается /V ценных бумаг, то нужно произвести оценку N параметров. Второе, нужно оценить дисперсию каждой из этих ценных бумаг. Для N рисковых ценных бумаг нужно провести оценку других N параметров. Третье, нужно оценить ковариацию каждой пары ценных бумаг. Для этого нужно оценить (/V2 - N )/2 параметров16. Это означает, что общее число параметров, для которых необходимо провести оценку, равняется (N2 + ЗЛО/2:

Ожидаемые доходности N

Дисперсии N

Ковариации (Л/2 - Л/)/2

Всего (Л/2 - 3N)/2

Например, если мы рассматриваем 100 рисковых ценных бумаг, то нам необходимо произвести оценку 5150 параметров [(1002 + (3 х 100)/2], состоящих из 100 ожидаемых доходностей, 100 дисперсий и 4950 ковариации. Эти параметры могут быть оценены один за другим, что представляет задачу, требующую больших временных затрат и практически неразрешимую. К счастью, существуют альтернативы данному методу, одной из которых является метод, основанный на рыночной модели17.

При подходе, использующем рыночную модель, в первую очередь необходимо оценить ожидаемую доходность на рыночный индекс. Затем для каждой ценной бумаги нужно оценить коэффициент вертикального смещения и коэффициент бета . В общей сложности надо произвести оценку (1 + 2/V) параметров (1 для г 2/Удля коэффициента вертикального смещения и бета -коэффициентов для каждой из N рискованных ценных бумаг). Полученные значения могут быть использованы для проведения оценок ожидаемой доходности каждой ценной бумаги с помощью уравнения (8.3), которое в данном случае имеет следующий вид:

(8.14)

Ранее ожидаемая доходность на индекс рынка была оценена в 5%. Исходя из данной величины, ожидаемую доходность ценной бумаги А можно оценить в 8%, так как коэффициент смещения и бета -коэффициент этой ценной бумаги были оценены в 2% и 1,2 соответственно:

~гА = 2% + (5%х 1,2) = 8%.

Аналогично, ожидаемая доходность ценной бумаги В может быть оценена в 3%, так как оценка коэффициента смещения равняется -1%, а бета -коэффициента - 0,8:

7д = -1% + (5%х0,8) = 3%.

При использовании рыночной модели дисперсия ценной бумаги / может быть оценена как сумма произведения квадрата значения бета -коэффициента ценной бумаги на дисперсию индекса рынка и дисперсию случайной погрешности. Уравнение для данной операции приводилось ранее:

j-M+ol- <8-8>

где о, обозначает дисперсию индекса рынка и о2;. обозначает дисперсию случайной погрешности для ценной бумаги /.

Предполагая, что дисперсия индекса рынка равняется 49, соответствующие дисперсии ценных бумаг А и В можно оценить следующим образом:

о2,= (1,22х 49)+ 6,062 = 107,28; о2, = (0,82 х 49) + 4,762 = 54,02.

Это означает, что оценка стандартных отклонений данных ценных бумаг равняется 10,36% = V 107,28 и 7,35% = 54,02 соответственно.

В заключение отметим, что ковариация ценных бумаг / и j оценивается произведением трех чисел: бета -коэффициента /-й ценной бумаги, бета -коэффициентау-й ценной бумаги и дисперсии индекса рынка. То есть можно использовать следующую формулу:

о-, = Р Р>/ (8.15)

Таким образом, ковариация ценных бумаг А и В может быть оценена следующим образом:

оДЛ= 1,2 x 0,8 x 49 = 47,04.

Итак, применяя подход, использующий рыночную модель для оценки ожидаемых доходностей, дисперсий и ковариаций, следует определить следующие параметры:

Для индекса рынка:

Ожидаемая доходность (г,) 1

Дисперсия (о*) 1

Для каждой ценной бумаги:

Коэффициент вертикального смещения (а.,) N

Бета (Р ) N

Дисперсия случайной погрешности (о* ) N

Итого ЗЛ/ + 2

Таким образом, в рамках данного подхода для определения эффективного множества и оптимального портфеля необходимо произвести оценку 302 [(3 х 100) + 2] параметров для 100 рисковых ценных бумаг. После оценки этих 302 параметров не составляет труда

применить уравнения (8.14), (8.8) и (8.15) для расчета ожидаемых доходностей, дисперсий и ковариации рискованных ценных бумаг. Рассмотренный ранее метод альтернативной оценки всех параметров один за другим требует оценить 5150 параметров. Как можно заметить из данного примера, применение подхода, основанного на рыночной модели, значительно сокращает объем расчетов.

После того как были оценены ожидаемые доходности, дисперсии и ковариации, необходимо ввести эти значения в компьютер. Затем компьютер может приступить к определению эффективного множества, используя алгоритм квадратичного программирования 18. После этого оптимальный портфель инвестора может быть подобран с помощью определения точки касания кривых безразличия инвестора с эффективным множеством.

Примечания

1 Это следует из того факта, что на отрезке от 0 до 100 находится бесконечное множество чисел. Если предположить, что данные числа отражают долю вложений инвестора в акции Able, а 100 минус данные числа - в акции Baker, то мы имеем бесконечное множество портфелей, которые можно составить из этих двух ценных бумаг. При данном утверждении, однако, предполагается, что при желании инвестор может приобретать часть одной акции. Например, инвестор может купить не только одну акцию Able, но или 1,1, или 1,01, или 1,001 акции.

2 Для того чтобы определить состав портфелей из эффективного множества, инвестор должен решить задачу квадратичного программирования . См. книгу Марковица Portfolio Selection (ссыл-кав конце главы), в частности с. 176-185.

3 Инвестор, нейтральный к риску, выберет портфель S, в то время как азартный инвестор выберет либо S, либо Я.

4 Данное свойство кривизны может быть также использовано для объяснения того, почему правая сторона множества достижимости имеет форму зонта, как это показано на рис. 8.2. Более подробное объяснение вогнутости содержится в Приложении А.

5 Это пример однофакторной модели, где фактором является доходность на индекс рынка (см. гл. 11 для получения дополнительной информации о факторных моделях; см. гл. 10, 23 и 26, в которых более подробно рассмотрены индексы рынка). В действительности модель имеет более общий характер, чем приведенная здесь, поэтому нет необходимости в использовании доходности именно на индекс рынка. Можно использовать доходность на любую переменную, такую, например, как предсказанный уровень увеличения промышленного производства или валовой внутренний продукт, если мы можем предположить, что она имеет большее влияние на доходность отдельных акций.

6 Будет технически более правильным обозначить стандартное отклонение случайной погрешности как о р так как оно измеряется относительно индекса рынка /. Обозначение / не приводится в данном случае для упрощения записи.

7 Так как диапазон относится к возможным результатам, а интервал - к вероятности возникновения различных результатов, то можно заметить, что колесо рулетки просто является удобной формой представления вероятностного распределения случайной погрешности. Обычно предполагается, что случайная погрешность имеет нормальное распределение.

8 Это возможно в том случае, если ценная бумага В имеет случайную погрешность, которой соответствует колесо рулетки с целыми значениями от -9% до 9%, но с интервалами между каждым целым числом от -5% до 5% в два раза большими, чем интервалы между целыми числами от -9% до -6% и от 6% до 9%. Это означает, что вероятность того, что случайная погрешность примет любое конкретное целое значение между -5% и 5%, равняется 2/з0, в то время как вероятность того, что случайная погрешность примет целое значение из интервала от -9% до -6% и от 6% до 9%, равняется [/i0.

Методы оценки коэффициента бета приведены в гл. 17.

10 Если случайная погрешность принимает значение, равное нулю, то это означает, что ценная бумага лежит на линии. Однако вероятность такой ситуации мала для большинства ценных бумаг.