11 Приложение Б показывает, как можно использовать рыночную модель для оценки ожидаемых доходностей, дисперсий и ковариаций ценных бумаг из достижимого множества. Имея данные оценки, можно последовательно определить эффективное множество. См. примечание 2.

12 В действительности все, что нужно для уменьшения собственного риска, - это постоянное сокращение максимального объема инвестиций в любую ценную бумагу при возрастании N.

13 Harry М. Markowitz, The Optimization of the Quadratic Function Subject to Linear Constraints*, Naval Research Logistic Quarterly, 3, nos. 1-2 (March-June 1956), pp. 111-133.

14 Данный пример основан на примере, приведенном Марковицем в книге Portfolio Selection* (New Haven, CT: Yale University Press, 1959), pp. 176-185.

15 В данном примере эффективный портфель, имеющий ожидаемую доходность в 20,93%, может быть определен с помощью решения следующего уравнения относительно Y: (23,20% х Y) + + (17,26% х (1 - Y)) = 20,93%. Так как это линейное уравнение с одним неизвестным, то его легко решить. Решение Y= 0,62 показывает, что вложение 62% инвестиций во второй угловой портфель и 38% (100% - 62%) в третий угловой портфель позволяет создать эффективный портфель с такой же ожидаемой доходностью, но меньшим стандартным отклонением (равным 14,09%), чем портфель, состоящий наполовину из второго углового и наполовину из третьего углового .

Данное число было получено следующим образом. Ковариационная матрица состоит из N строк и TV столбцов, то есть из N2 ячеек, относящихся к параметрам, которые необходимо оценить. Диагональные ячейки содержат N дисперсий, учтенных ранее, следовательно, нам необходимо оценить (N2 - N) ковариаций. Так как ковариационная матрица является симметричной, то нам необходимо оценить только те ковариаций, которые расположены ниже диагонали (поскольку симметричные элементы выше диагонали будут им равны), то есть нам остается оценить (N2 - N)/2 параметров.

17 Подход, использующий рыночную модель, является приблизительным подходом (как и все остальные альтернативные подходы), потому что он основан на ряде упрощений. Например, данный подход предполагает, что случайные погрешности любых двух ценных бумаг являются некоррелированными (предположение, необходимое для вывода уравнения (8.11с), а позднее уравнения (8.15)). Это означает, что результат поворота колеса рулетки для одной ценной бумаги (такой, например, как Mobile) не оказывает никакого влияния на результат поворота колеса рулетки для другой ценной бумаги (такой, например, как Exxon). Это предположение оспаривается в том случае, когда рассматриваются ценные бумаги, относящиеся к одной отрасли. См.: Benjamin F. King, Market and Industry Factors in Stock Price Behavior , Journal of Business, 39, no. 1 (January 1966), pp. 139-170; and James L. Farrell, Jr., Analyzing Covariation of Returns to Determine Homogeneous Stock Groupings*, Journal of Business, 47, no. 2 (April 1974), pp. 186-207.

18 См. приложение Б к гл. 9, где описан алгоритм, который может быть использован вместе с моделью рынка для определения состава эффективного множества.

Ключевые термины

теорема об эффективном множестве эффективное множество достижимое множество эффективные портфели неэффективные портфели оптимальный портфель рыночная модель

случайная погрешность бета -коэффициент агрессивные акции оборонительные акции рыночный риск собственный риск диверсификация

Рекомендуемая литература

1. Как уже упоминалось в конце гл. 7, основная работа по разработке модели средних и ковариаций была проделана Гарри Марковицем, который изложил свои идеи в статье, а позднее в книге:

Harry М.Markowitz, Portfolio Selection*, Journal of Finance, 1, no. 1 (March 1952), pp. 77-91.

Harry M. Markowitz, Portfolio Selection: Efficient Diversification of Investments (New York: John Wiley, 1959).

2. Техника, используемая для определения местоположения эффективного множества и состава угловых портфелей, которые в нем располагаются, была изложена в работе:

Harry М. Markowitz, The Optimization of the Quadratic Function Subject to Linear Constraints*, Naval Research Logistic Quarterly, 3, nos. 1-2 (March-June 1956), pp. 111-133.

3. Рыночная модель, изначально упомянутая Марковицем в замечании к с. 100 его книги, была позднее рассмотрена в работе:

William F. Sharpe, А Simplified Model for Portfolio Analysis*, Management Science, 9 no. 2 (January 1963), pp. 277-293.

4. Детальное рассмотрение рыночной модели можно найти в гл. 3 и 4 следующей книги:

Eugene F. Fama, Foundations of Finance (New York: Basic Books, 1976).

5. Обсуждение того, как диверсификация снижает рыночный риск см. в работах: John L. Evans and Stephen H. Archer, Diversification and the Reduction of Dispersion: An Empirical Analysis*, Journal of Finance, 23, no. 5 (December 1968), pp. 761-767. WH. Wagner and S.C. Lau, The Effect of Diversification on Risk , Financial Analysts Journal, 27, no. 6 (November-December 1971), pp. 48-53.

Meir Statman, How Many Stocks Make a Diversified Portfolio?* Journal of Financial and Quantative Analysis, 22, no. 3 (September 1987), pp. 353-363.

Gerald D. Newbould and Percy S. Poon, The Minimum Number of Stocks Needed for Diversification*, Financial Practice and Education, 3, no. 2 (Fall 1993), pp. 85-87.

6. Обсуждение статистических проблем, связанных с разделением общего риска, можно найти в следующей работе:

Bert Stine and Dwayne Key, Reconciling Degrees of Freedom When Partitioning Risk: A Teaching Note , Jornal of Financial Education, 19 (Fall 1990), pp. 19-22.

7. Некоторые статистические проблемы, связанные с применением оптимизационных методов в управлении портфелем (например, как справиться с оценочным риском), рассматриваются в следующих работах:

J.D. Jobson and Bob Korkie, Putting Markowitz Theory to Work , Journal of Portfolio Management, 7, no. 4 (Summer 1981), pp. 70-74.

Gordon J. Alexander and Jack Clark Francis, Portfolio Analysis (Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, 1986), Chapter 6.

Peter A. Frost and James E. Savarino, Portfolio Size and Estimation Risk*, Journal of Portfolio Management, 12, no. 4 (Summer 1986), pp. 60-64.

Peter A. Frost and James E. Savarino, For Better Performance: Constrain Portfolio Weights ,

Journal of Portfolio Management, 15, no. 1 (Fall 1988), pp. 29-34.

Richard O. Michaud, The Markowitz Optimization Enigma: Is Optimized Optimal? ,

Financial Analysts Journal, 45, no. 1 (January/February 1989), pp. 31-42.

Philippe Jorion, Portfolio Optimization in Practice*, Financial Analysts Journal, 48, no. 1

(January/February 1922), pp. 68-74.

Vijay K. Chopra and William T. Ziemba, The Effects of Errors in Means, Variances, and Covariances on Optimal Portfolio Choice*, Journal of Portfolio Management, 19, no. 2 (Winter 1993), pp. 6-11.

Глава 9

Безрисковое предоставление и получение займов

Предыдущие две главы были посвящены вопросу выбора инвестиционного портфеля. Подход Марковица предполагает, что инвестор имеет некоторый начальный капитал (W0) для инвестиций на определенный срок. Из всех имеющихся портфелей оптимальным является тот, который соответствует точке касания кривой безразличия инвестора к эффективному множеству. В конце периода владения портфелем начальный капитал инвестора либо увеличивается, либо уменьшается в зависимости от ставки доходности портфеля. Капитал, образовавшийся в результате инвестирования (Wt), может быть или полностью реинвестирован, или полностью истрачен на потребление, или частично реинвестирован и частично потреблен.

Подход Марковица предполагает, что активы, рассматриваемые для инвестиций, в отдельности являются рискованными, т.е. каждый из jV рискованных активов дает неопределенный доход за период владения. Поскольку никакой из активов не имеет совершенно отрицательную корреляцию с любым другим активом, то все портфели также дают неопределенные доходы за период владения и, следовательно, являются рискованными. Более того, инвестору не позволяется использовать одолженные деньги вместе с начальным капиталом для покупки портфеля активов. Это означает, что инвестору не разрешается использовать финансовую поддержку или счет, находящийся у его брокера.

В этой главе подход Марковица к инвестициям обобщается. Во-первых, инвестору разрешается инвестировать не только в рискованные, но и в безрисковые активы. Это означает, что теперь имеется N активов, доступных для инвестиций, включая (ЛМ) рискованный актив и один безрисковый. Во-вторых, инвестору разрешается одалживать деньги при обязательных выплатах по определенной процентной ставке по взятым займам. Кроме того, рассматривается эффект от добавления безрискового актива к набору рискованных активов.

Определение безрискового актива

Что именно понимается под безрисковым активом (riskfree asset) при подходе Марковица? Так как при этом подходе рассматриваются инвестиции на один инвестиционный период, то доход по безрисковому активу является определенным. Если инвестор покупает безрисковый актив в начале инвестиционного периода, то он точно знает, какова будет его стоимость в конце периода. Поскольку неопределенность конечной стоимости безрискового актива отсутствует, то, по определению, стандартное отклонение для безрискового актива равно нулю.