нией (SML). Каждой ценной бумаге соответствует точка множества модели Марковица. Проведем анализ произвольно выбранной рискованной бумаги /, отмеченной на рисунке.

Рассмотрим портфель р, состоящий из ценной бумаги / и рыночного портфеля М в пропорции 1. и (1 - I) соответственно. Ожидаемая доходность такого портфеля составит:

7,=A,7, + (l-A,)7A,) (10.14)

а стандартное отклонение будет равно:

ор = [х2о2 + (l-.)2+2.(l-X.) аш]1/2. (10.15)

Все такие портфели лежат на кривой, соединяющей / и М подобно изображенной на рис. 10.7.

Представляет интерес наклон этой линии. Он не является постоянным, поскольку эта линия является кривой. Однако его можно вычислить, используя математический анализ. Во-первых, из уравнения (10.14) вытекает следующее выражение для производной г по X.:

d г - -

-гг-= ri-Im. (10.16)

Рис. 10.7. Построение рыночной линии ценной бумаги

Во-вторых, используя уравнение (10.15), можно найти производную ор по X: do X. а] -a2M + X, а\, + аш - 2 X, ош

I 12

(10.17)

В-третьих, нужно отметить, что наклон кривой iM, dr /da можно записать в виде:

dr, drp/dX, dap dap/dX.

(10.18)

Это означает, что для расчета наклона кривой iM достаточно подставить выражения (10.16) и (10.17) соответственно в числитель и знаменатель правой части уравнения (10.18):

d~r, [~-!-~гм}[о2+(1-Х!)2о2м+2Х1(1-Х1)ош]

xi °! -ам + х1ам + °1м ~ 2xi °im

(10.19)

Представляет интерес величина наклона кривой iMв конечной точке М. Поскольку доля Xt здесь равна нулю, наклон легко определить из уравнения (10.19), где многие члены обращаются в нуль:

d г р da

- ги][ои]

(10.20)

В точке М наклон CML (ги - г )/ам должен совпадать с наклоном кривой iM. Действительно, наклон данной кривой возрастает при движении от / к М, приближаясь к наклону CML в точке М. Таким образом, наклон кривой iM в точке М, соответствующий правой части уравнения (10.20), можно приравнять к наклону CML:

[ri- гм][°м]

> м~>г

(10.21)

Решая уравнение (10.21) относительно г., получим ковариационную версию уравнения SML:

(10.6)

Бета -версия уравнения SML получается подстановкой в уравнение (10.6) В. вместо

Примечания

1 Некоторые обобщения САРМ рассматриваются в приложении А.

2 Milton Friedman, Essays in the Theoiy of Positive Economics (Chicago: University of Chicago Press, 1953), p. 15.

3 Если инвестор располагает начальным капиталом в $40 тыс., это означает, что он заимствует $20 тыс. и затем инвестирует $60 тыс. ($40 тыс. + $20 тыс.) в портфель Т.

4 Поясним, почему сумма долей этих трех акций равна 0,5 для инвестора (а) и 1,5 для инвестора (б). Поскольку удельные веса безрискового кредитования и заимствования составляют соответственно 0,5 и -0,5, сумма долей акций и безрисковых операций составляет 1,0 для каждого инвестора.

5 Находящиеся в обращении ценные бумаги, нетто-стоимость которых равна нулю, не попадут в касательный портфель. Опционы и фьючерсы, рассматриваемые в гл. 20 и 21, являются примерами таких бумаг.

6 Хотя ожидаемая доходность акций компании Charlie изменилась, все вариации и ковариации так же, как и ожидаемые доходности акций компаний АЫе и Baker, предполагаются равными значениям, приведенным в гл. 7, 8 и 9. Частное изменение ожидаемой доходности акций компании Charlie меняет не только структуру касательного портфеля, но также расположение и форму эффективного множества.

7 В этой ситуации рынок для каждой бумаги называется чистым (cleared).

8 Совокупная рыночная стоимость обыкновенных акций компании равна текущему рыночному курсу акции, умноженному на количество акций в обращении.

9 Наклон прямой может быть определен, если известны две точки, принадлежащие данной прямой. Он определяется отношением вертикального расстояния между двумя точками прямой к горизонтальному расстоянию между этими точками. В случае CML известны две точки, соответствующие безрисковой ставке и рыночному портфелю, поэтому наклон CML может быть определен описанным образом.

10 Уравнение прямой линии имеет вид: у = а + Ьх, где а представляет собой вертикальное смещение и А- наклон. Поскольку вертикальное смещение и наклон CML известны, ее уравнение может быть записано подстановкой соответствующих выражений вместо а и А.

11 Более строгий вывод уравнения SML приводится в приложении Б.

12 Акции Вакегн Charlie имеют ковариации, равные 382 и 179 соответственно, откуда следует, что их ожидаемые доходности должны равняться 30,74% [4 + (0,07 х 382) и 16,53% [4 + (0,07 х 179)]. Тем не менее эти значения не соответствуют векторам ожидаемой доходности (24,6 и 22,8%), указывая на то, что отклонения от рыночного портфеля имеют место для акций всех трех компаний. Хотя в этом примере используется ковариационная версия SML, вывод бета -версии SML, представленный в уравнении 10.7, аналогичен.

13 Другие индексы обыкновенных акций широко представлены в специальных изданиях. Многие из них являются компонентами упомянутых здесь сводных индексов. Например, Wall Street Journal ежедневно сообщает данные не только по S&P 500, но также по S&P промышленности, транспорта, коммунального хозяйства и финансовых компаний. Последние четыре индекса отражаютситуацию в отдельных секторах фондового рынка. Их составляющие образуют 500 акций, входящих в сводный индекс; S&P также публикует индекс 400 MidCap, основанный на акциях компаний среднего размера. Более тщательное обсуждение индексов фондового рынка представлено в гл. 23, 26.

14 Чарлз Доу проводил первые вычисления этого индекса в 1884 г., просто складывая цены акций 11 компаний и деля полученную сумму на 11. В 1928 г. число включаемых в индекс ценных бумаг возросло до 30. Состав этого индекса периодически пересматривался. Ввиду таких явлений, как разделение ( сплит ) акций, изменения компаний, входящих в индекс, выплата дивидендов, делитель индекса в настоящее время вычисляется более сложным способом, а не является суммой акций, входящих в индекс.

15 Более строгое обоснование этого рисунка представлено в приложении А к гл. 9.

Предположим, что требование о внесении маржи при коротких продажах отсутствует; инвестор может получить от коротких продаж доход; безрисковые заимствования и кредитование невозможны. В такой ситуации множество достижимости будет ограничено гиперболой, открытой вправо. Далее, эффективное множество будет представлять собой верхнюю половину этой гиперболы. Введение безрискового заимствования и кредитования изменяет форму и расположение эффективного множества аналогично рис. 10.3. При этом рыночный портфель будет находиться на эффективном множестве между TL и ТИ. См.: Fischer Black, Capital Market Equilibrium with Restricted Borrowing*, Journal of Business, 45, no. 3 (July 1972), pp. 444-455.