что совпадает с наклоном прямой линии на рис. 11.1. Это значение указывает на то, что более высокий предсказанный прирост ВВП ассоциируется с более высокой доходностью акций Widget. Если предсказанный прирост ВВП равен 5%, то акции Widget дадут доходность 14% (4% + 2 х 5%). Если предсказанный прирост ВВП будет на 1% больше, т.е. составит 6%, то доходность должна быть на 2% больше, т.е. равняется 16%.

В этом примере предсказанный прирост ВВП за шестой год был равен 2,9%, а фактическая доходность акций Widget составила 13%. Следовательно, уникальная доходность акций Widget (обозначенная е;) в этом конкретном году была равна 3,2%. Это число было получено путем вычитания величины ожидаемой доходности, соответствующей предсказанному приросту ВВП в 2,9%, из фактической доходности, равной 13%. В этом случае ожидаемая доходность акций Widget составила бы 9,8% (4 + 2 х 2,9%). Тем самым специфическая доходность получается равной +3,2% (13% - 9,8%).

В итоге однофакторная модель, представленная рис. 11.1 и уравнением (11.1), отражает доходность акций Widget за любой конкретный период в виде суммы трех элементов:

1. Элемент, одинаковый для всех периодов (член а).

2. Элемент, который меняется от периода к периоду и зависит от предсказанного темпа прироста ВВП (член ЬВВП;).

3. Элемент, специфический для конкретного рассматриваемого периода (член е().

11.2.2 Обобщение примера

Этот пример однофакторной модели может быть обобщен в виде уравнения для любой ценной бумаги / в период времени г.

г .= a.+b.F +е. (П.2)

где F - предсказанное значение фактора в период г, а Ь. - чувствительность ценной бумаги / к этому фактору. Если бы предсказанное значение фактора равнялось нулю, то доходность этой ценной бумаги составила бы а + e.f. Заметим, что е - это случайная ошибка, совершенно аналогичная той, которая обсуждалась в гл. 8, т.е. это случайная переменная с нулевым математическим ожиданием и стандартным отклонением o~ej. Можно считать, что она определяется вращением колеса рулетки .

Ожидаемая доходность

Согласно однофакторной модели, ожидаемая доходность ценной бумаги / может быть записана в виде:

7, = о, + А,7, (П.З)

где F обозначает ожидаемое значение фактора.

Это уравнение можно использовать для оценки ожидаемой доходности ценной бумаги. Например, если ожидаемый темп прироста ВВП равен 3%, то ожидаемая доходность акций Widget равна 10% (4% + 2x3%).

Дисперсия

В однофакторной модели можно также показать, что дисперсия любой ценной бумаги / равняется:

o2=b2o2F + o\, (11.4)

где - a2F дисперсия фактора F, a a2ej - дисперсия случайной ошибки. Таким образом, если дисперсия фактора равняется 3, а остаточная дисперсия - 15,2, то, согласно этому уравнению, дисперсия акций Widget равняется:

о] = (22х 3) + 15,2 = 27,2.

Ковариация

В однофакторной модели можно показать, что ковариация любых двух ценных бумаг i и j равняется:

оц = ЬрУг. (11.5)

В примере с акциями Widget уравнение (11.5) может быть использовано для оценки ковариаций этих акций и другой гипотетической ценной бумаги, например, акций компании Whatever. Предположив, что фактор чувствительности акций Whatever равен 4,0, ковариация акций Widget и Whatever равна:

О = 2 х 4 х 3 = 24.

Предположения

Уравнения (11.4) и (11.5) основаны на двух важных предположениях. Во-первых, предполагается отсутствие корреляции случайной ошибки и фактора. Это означает, что величина фактора совсем не влияет на величину случайной ошибки.

Во-вторых, предполагается отсутствие корреляции случайных ошибок любых двух ценных бумаг. Это означает, что величина случайной ошибки одной ценной бумаги совсем не влияет на величину случайной ошибки любой другой ценной бумаги. Другими словами, доходности двух ценных бумаг будут коррелированы, т.е. будут меняться согласованно, только вследствие общей зависимости от изменения фактора. Если какое-либо из этих предположений не выполняется, то модель является лишь приближенной и другая факторная модель (быть может, с большим числом факторов) теоретически может быть более точной моделью формирования дохода.

11.2.3 Рыночная модель

Теперь покажем, что рыночная модель является конкретным примером однофакторной модели, в которой фактором служит доходность по рыночному индексу. В гл. 8 рыночная модель была записана следующим образом:

-/= ,7 + P,77 + V (8.3)

Сравнение уравнения (8.3) с общим видом однофакторной модели в уравнении (11.2) показывает их очевидное сходство. Смещение из уравнения рыночной модели соответствует значению нулевого фактора в уравнении (11.2). Далее, наклон в рыночной модели аналогичен чувствительности в обобщенной однофакторной модели. Каждое уравнение - и факторной модели, и рыночной модели - включает случайную ошибку5. Наконец, доходность по рыночному индексу играет роль единственного фактора.

Однако, как отмечено ранее, идея однофакторной модели не ограничивает инвестора использованием только рыночного индекса в качестве фактора. Могут быть использованы многие другие факторы, такие, как предсказанный ВВП или объем промышленной продукции.

11.2.4 Два важных свойства однофакторных моделей

Особый интерес представляют два свойства однофакторных моделей. Касательный портфель

Во-первых, предположение о том, что доходности всех ценных бумаг реагируют на единственный общий фактор, значительно упрощает задачу определения касательного портфеля. Для определения его состава инвестор должен оценить все ожидаемые

доходности, дисперсии и ковариации. В однофакторной модели это можно сделать, оценив а., Ь. и се1 для любой из N рискованных ценных бумаг6.

Необходимо также иметь ожидаемое значение фактора Fu его стандартное отклонение af. Используя все эти оценки в уравнениях (11.3), (11.4) и (11.5), можно вычислить ожидаемые доходности, дисперсии и ковариации ценных бумаг. С помощью этих параметров можно определить кривую эффективного множества Марковица. Наконец, отсюда может быть определен касательный портфель для заданной безрисковой ставки.

Общая чувствительность ценных бумаг к фактору устраняет необходимость непосредственного вычисления ковариации между ценными бумагами. Эти ковариации уже учтены в чувствительностях ценных бумаг к фактору и в его дисперсии.

Диверсификация

Второе интересное свойство однофакторных моделей имеет отношение к диверсификации. Ранее было показано, что диверсификация приводит к усреднению рыночного риска и снижению собственного риска. Это свойство относится и к любой однофакторной модели, если заменить слова рыночный и собственный на факторный и нефакторный . Первый член в правой части уравнения (11.4) (b2a2f) называется факторным риском (factor risk) ценной бумаги, а второй (а2.) называется нефакторным риском (nonfactor risk) ценной бумаги.

В однофакторной модели дисперсия портфеля задается выражением:

a2p = bla2F+al (11.6а)

= Х>А; (11.66)

;= 1

< = 1>Я2,-. (П.бв)

Уравнение (11.6а) показывает, что общий риск любого портфеля можно представить в виде двух компонентов, аналогичных двум компонентам общего риска отдельной ценной бумаги, приведенным в уравнении (11.4). В частности, первый и второй члены правой части уравнения (11.6а) являются факторным и нефакторным рисками портфеля соответственно.

По мере того как портфель становится более диверсифицированным (т.е. содержащим больше ценных бумаг), каждая доля X становится меньше. Однако это не приведет к значительному уменьшению или увеличению Ьр, если специально не предпринималась попытка сделать это путем добавления ценных бумаг с относительно малыми или большими значениями b соответственно. Как видно из уравнения (11.66), это связано с тем, что b является просто взвешенным средним чувствительностей ценных бумаг Ь, в котором весами служат значения X.. Таким образом, диверсификация приводит к усреднению факторного риска.

Однако по мере того как портфель становится более диверсифицированным, можно ожидать уменьшения нефакторного риска а2ер. Это можно показать, рассматривая уравнение (П.бв). Предположив, что в каждую ценную бумагу инвестирована одна и та же сумма, это уравнение может быть переписано при замене Х: на 1 V следующим образом: