Величина внутри квадратных скобок является средним нефакторным риском для отдельных ценных бумаг. Но нефакторный риск портфеля составляет лишь \/N часть этой величины из-за множителя X/N перед скобками. По мере того как портфель становится более диверсифицированным, число N ценных бумаг в нем растет. При этом 1/yVуменьшается, что, в свою очередь, уменьшает нефакторный риск портфеля. Проще говоря, диверсификация уменьшает нефакторный риск7.

2,2, ,2

Многофакторные модели

Состояние экономики затрагивает большинство фирм. Поэтому можно полагать, что изменения в ожиданиях относительно будущего состояния экономики имеют очень большое влияние на доходности большинства ценных бумаг. Однако экономика не является чем-то простым и монолитным. Можно выделить несколько факторов, оказывающих влияние на все сферы экономики.

1. Темпы прироста валового внутреннего продукта.

2. Уровень процентных ставок.

3. Уровень инфляции.

4. Уровень цен на нефть.

11.3.1 Двухфакторные модели

В отличие от однофакторных моделей многофакторная модель доходности ценных бумаг, учитывающая эти различные воздействия, может быть более точной. В качестве примера рассмотрим модель, в которой предполагается, что процесс формирования дохода включает два фактора.

В виде уравнения двухфакторная модель для периода t записывается так:

г. = a. + b.,Fu + b.,F. + е., , (П.7)

(/ / il it /2 2/ it 4

где F и F2i - два фактора, оказывающих влияние на доходы по всем ценным бумагам, а 6 и Ь.2 - чувствительности ценной бумаги / к этим двум факторам. Как и в случае однофакторной модели, е.; - случайная ошибка, а - ожидаемая доходность ценной бумаги / при условии, что каждый фактор имеет нулевое значение.

Рисунок П.2 иллюстрирует случай акций компании Widget, на доходность которых влияют ожидания как темпов прироста ВВП, так и уровня инфляции. Как и в одно-факторном случае, каждая точка на рисунке соответствует определенному году. Однако на этот раз каждая точка определяется комбинацией доходности, уровня инфляции и темпов прироста ВВП в этом году, приведенных в табл. ПЛ. Россыпь точек совпадает с двухмерной плоскостью, полученной с помощью статистического метода множественной регрессии (multiple-regression analysis). (Слово множественная относится к тому, что в правой части уравнения имеются две экзогенные переменные: ВВП и инфляция.) Эта плоскость для любой ценной бумаги описывается уравнением, похожим на уравнение (П.7):

г = а + 6,ВВП + 6, х INF + е .

I \ I 2 11

Наклон плоскости в направлении темпа прироста ВВП (Ьх) представляет чувствительность акций Widget к изменениям темпа прироста ВВП. Наклон плоскости в направлении уровня инфляции (Ь2) представляет чувствительность этих акций к изменениям уровня инфляции. Отметим, что в этом примере чувствительности и положительны, и

отрицательны и имеют значения 2,2 и -0,78. Это указывает на то, что с увеличением предсказанного темпа прироста ВВП или уровня инфляции доход по акциям Widget должен возрасти или уменьшиться соответственно.

Рис. 11.2. Двухфакторная модель

Смещение (нулевой фактор), равное на рис. 11.2 5,8%, дает ожидаемую доходность для случая, когда и прирост ВВП, и инфляция равны нулю. Наконец, для конкретного года расстояние от фактической точки до плоскости равно специфической доходности в этом году (е.), т.е. той части доходности, которая не связана ни с приростом ВВП, ни с инфляцией. Например, если ВВП вырос на 2,9%, а инфляция составила 3,1%, то ожидаемая доходность акций Widget за шестой год равна 10% (5,8% + 2,2 х 2,9% - 0,7 х 3,1 %). Следовательно, специфическая доходность этих акций равна +3% (13% - 10%).

В рамках двухфакторной модели для каждой ценной бумаги нужно оценить четыре параметра: a., bv bj2 и стандартное отклонение случайной ошибки, обозначаемое как о .. Для каждого из факторов нужно оценить два параметра - ожидаемое значение каждого фактора (F и F,) и дисперсию фактора (о~пм оп). Наконец, нужно оценить ковариацию факторов - COV{Fv F,).

Ожидаемая доходность

С помощью этих оценок ожидаемая доходность любой ценной бумаги / может быть вычислена по следующей формуле:

7/ = fl, + 6,1F1+6i272. (11.8)

Например, ожидаемая доходность акций Widget равна 8,9% (5,8% + 2,2 х 3% - 0,7 х 5%) при условии, что ожидаемое увеличение ВВП и инфляция равны 3 и 5% соответственно.

Дисперсия

Согласно двухфакторной модели, дисперсия любой ценной бумаги / равна:

Ь) = ЬУП + Ъ\Ь\ + 26,А COV(F, ,F2) + a2ei. (11.9)

Если в рассматриваемом примере дисперсии первого ( о2н) и второго (a2n) факторов равны 3 и 2,9 соответственно, а их ковариация [COV (Fv F2)\ равна 0,65, то дисперсия акций Widget составит 32,1 [(2,22 х 3) + (-0,72 х 2,9) + (2 х 2,2 х (-0,7) х 0,65) + 18,2], поскольку их чувствительности и дисперсия случайной ошибки равны 2,2, -0,7 и 18,2 соответственно.

Ковариация

Аналогично, согласно двухфакторной модели, ковариация любых двух ценных бумаг / и у определяется следующей формулой:

°ff = +babAan +<V,2 +babfl) COV(FrF2). (11.10)

Продолжая рассматривать все тот же пример, получаем, что ковариация акций компаний Widget и Whatever равна 39,9 {(2,2 х 6 х 3) + (-0,7 х (-5) х 2,9) + [2,2 х (-5)] + + (-0,7) х 6)] х 0,65}, так как чувствительности акций Whatever к двум факторам равны 6 и -5 соответственно.

Касательный портфель

Как и в случае однофакторной модели, после того, как ожидаемые доходности, дисперсии и ковариаций рассчитаны с помощью приведенных выше уравнений, инвестор может перейти к использованию оптимизатора (optimizer) (особого вида математической процедуры) для получения кривой эффективного множества Марковица. Затем для данной безрисковой ставки может быть определен касательный портфель, после чего инвестор может выбрать свой оптимальный портфель.

Диверсификация

Все сказанное ранее относительно однофакторных моделей применимо и в случае диверсификации.

1. Диверсификация приводит к усреднению факторного риска.

2. Диверсификация может существенно уменьшить нефакторный риск.

3. Для хорошо диверсифицированного портфеля нефакторный риск будет незначительным.

Как и в однофакторной модели, чувствительность портфеля к конкретному фактору в многофакторной модели является взвешенным средним чувствительностей ценных бумаг, причем веса равны долям, в которых средства инвестированы в ценные бумаги. Это