ные статистические оценки. А более грубые устойчивые оценки будут выдавать более точные результаты. Сложные тесты, которые используют в статистике для получения значимых результатов из очень зашумленных данных, в торговле применять нельзя. Нам нужны более грубые робастные статистические инструменты.

- Не могли бы вы дать определние понятию ро-бастный ?

- Робастный статистический метод - это оценка, не подверженная сильному влиянию со стороны ошибочных предположений о природе распределения.

- Почему вы считаете, что такие методы больше подходят для анализа торговых систем?

- Потому что я считаю, что распределение цен является патологическим.

- В каком смысле?

- Приведу один пример. Распределение цены имеет гораздо большую дисперсию (статистическая мера переменности данных), чем можно было бы ожидать на основе теории нормального распределения. Автор концепции фрактальных измерений Бенуа Мандельброт предположил, что вероятностные распределения колебаний цен имеют бесконечную дисперсию. Дисперсия выборки (т. е. оценка изменчивости цен, проведенная на ограниченной выборке данных) по мере того, как вы добавляете больше данных, становится все больше и больше. Если это справедливо, то большинство стандартных статистических приемов оказывается непригодным для применения с ценовыми данными.

- Я не понимаю. Как может дисперсия быть бесконечной?

- Простой пример может проиллюстрировать, как распределение может иметь бесконечное среднее значе-

ние (кстати говоря, дисперсия является средней величиной - это среднее значение квадратов отклонений цены от среднего). Рассмотрим простое одномерное случайное блуждание, получаемое, скажем, в результате подбрасывания простой монеты. В определенные моменты времени общее количество выпавших орлов будет равно количеству выпавших решек. Нас интересует среднее время ожидания между этими моментами или, иначе говоря, среднее количество бросков монеты, которые нужно сделать, чтобы количество орлов и решек сравнялось. Как правило, период ожидания между равенствами орлов и решек имеет тенденцию быть коротким. Это вряд ли удивительно. Поскольку при измерении времени ожидания мы всегда начинаем с ситуации равенства, то другое равенство обычно находится не так уж далеко. Однако иногда либо орлы, либо решки выпадают или слишком часто, или слишком редко, и тогда придется очень долго ждать до тех пор, пока образуется новое равенство, особенно потому, что дополнительные броски имеют такую же вероятность увеличения этого расхождения, как и его уменьшения. Поэтому наша выборка будет иметь тенденцию состоять из множества относительно коротких периодов ожидания и немногих чрезвычайно больших промежутков.

И что же получается в среднем? Удивительно, но это распределение не имеет среднего значения, или вы можете сказать, что среднее бесконечно. Разумеется, в любой конкретный момент среднее значение вашей выборки будет конечной величиной, но по мере роста количества бросков монеты среднее будет все больше и больше увеличиваться. Увеличивая количество бросков, вы сможете получить для вашей выборки сколь угодно большое среднее значение.

- В только что приведенном вами примере с подбрасыванием монеты компьютерное моделирование

делает возможным получение огромных выборок данных, позволяющих вам приходить к выводу, что среднее значение беспредельно. Но как можно с определенностью утверждать, что бесконечна дисперсия распределения цен фьючерсов? Не слишком ли ограничены имеющиеся данные для того, чтобы можно было прийти к такому выводу?

- Строго доказать, что дисперсия изменений цены бесконечна, невозможно. В некоторых отношениях это похоже на проблемы теории о глобальном потеплении климата. Существуют некоторые признаки постоянного потепления, но трудно отличить повышение температуры от случайных изменений. На сбор статистических данных, достаточных, чтобы с уверенностью утверждать, что дисперсия изменений цены бесконечна, могут потребоваться столетия.

- Каково практическое значение вывода о бесконечности дисперсии?

- Если дисперсия не конечна, это означает, что всегда могут воплотиться сценарии гораздо более экстремального характера, чем вы можете себе представить, и, безусловно, значительно более экстремальные, чем можно было бы получить, исходя из предпосылки, что цены укладываются в нормальное распределение - той самой предпосылки, которая лежит в основе большинства статистических методов. Мы уже видели такой пример, когда за один день - 19 октября 1987 года - S8cP 500 упал на 8 тыс. пунктов. Обычная теория оценки скажет вам, что однодневное движение цены на такую величину может случиться лишь несколько раз в тысячелетие. Здесь оно произошло в течение десятилетия с введения контракта S8cP 500. Этот пример дает прекрасную иллюстрацию того факта, что если рыночные цены не имеют конечной дисперсии, любая классически полученная оценка риска будет значительно заниженной.