Эффективный фронт Ь рассчитан при условии, что выпуск ценных бумаг не разрешен:

h - h = h - 4 = h = l& = 0.

Эффективный фронт с рассчитан при условии, что не только выпуск ценных бумаг не разрешен, но вкладчик обязан вложить в каждую из ценных бумаг не менее 10% собственного капитала:

li - 1% = 1з - I4 - h - 1б - 0.1.

Рис. 3.5. Примеры эффективных фронтов для одного и того же набора ценных бумаг при различных ограничениях на параметры портфеля

Ясно, что набор возможных портфелей для случая а шире, чем набор возможных портфелей для случая Ь. В свою

очередь, набор возможных портфелей для случая Ь шире, чем набор возможных портфелей для случая с. Поэтому эффективный фронт а проходит не ниже, чем эффективный фронт Ь, который, в свою очередь, проходит не ниже, чем эффективный фронт с. На рис. 3.5 показан случай, когда данные эффективные фронты не пересекаются; При другом наборе ценных бумаг эффективный фронт о может, например, частично совпадать с эффективным фронтом Ь.

Мы вплотную подошли к задаче математического описания эффективных портфелей и эффективных фронтов, но, прежде чем заниматься этой задачей, следует сделать еще одно добавление.

На переменные ж1? х2,..., хп наложены ограничения (3.1). При составлении портфелей могут возникать и другие ограничения на эти переменные вида равенств или вида неравенств, выражающие собой те или иные дополнительные условия. Например, ограничения могут иметь вид

х5 = 0.2,

Зж2 - х8 = 0,

х6 < 0.14,

ж3 + х7 > 0.5.

Эти ограничения означают, что в ценные бумаги пятого вида должно быть вложено ровно 20% средств; в ценные бумаги восьмого вида - втрое больше средств, чем в ценные бумаги второго вида; в ценные бумаги шестого вида может быть вложено не более 14% средств; по крайней мере 50%

Теория эффективных портфелей ценных бумаг

средств должно быть вложено в ценные бумаги третьего и седьмого вида. Под средствами здесь везде имеются в виду собственные средства вкладчика.

Все ограничения, которые мы будем рассматривать, имеют следующий вид. В правой части равенства или неравенства стоит некоторое число, а в левой части - линейная функция от переменных xi, х2,..., хп. Ограничения с нелинейными функциями, например, такие, как

xi ж2 < 0.5

х3 - xl = 0,

нами рассматриваться не будут.

Ограничения вида неравенств, входящие в условие (3.1), мы оставим в существующем виде, а все остальные ограничения вида неравенств заменим на ограничения вида равенств при помощи следующего стандартного приема. В дополнение к переменным ху, х2,. , хп введем вспомогательные переменные xn+i, хп+2, , %N- При помощи этих переменных ограничения вида неравенств заменим на ограничения вида равенств. Например, ограничения х& < 0.14 и жз + Ж7 > 0.5 примут вид

х6 + xn+i = 0.14, xn+i > 0,

х3 + х7- хп+2 = 0.5, хп+2 > 0.

Если ограничений вида неравенств, которые нужно заменять на ограничения вида равенств, нет, то, естественно, вспомогательные переменные не вводятся и считается N = n.