Теперь все ограничения задачи можно записать в виде

dijXibj, j = l,2,...,m,

(3.2)

x\ > h, x2>h,--- xn > Zn, xn+i > 0,жп+2 > 0,...,xN > 0.

В число ограничений вида равенств из (3.2) мы включаем и ограничение

5> = 1.

Ограничения вида равенств из (3.2) мы будем часто записывать в виде

Ах = Ь,

где х - iV-мерный вектор, Ь - m-мерный вектор, А - матрица размера т х N.

Рис. 3.6. Эффективный фронт на плоскости (<т, Е) и соответствующий ему эффективный фронт на плоскости (V, Е)

Работать с построенными эффективными фронтами удобнее на плоскости (<т, Е), однако строить эффективные фронты удобнее на плоскости (V:E), где V = а2 (обозначение V происходит от английского слова variance - дисперсия). Мы определили эффективный фронт как кривую на плоскости (а, Е). Образ этой кривой на плоскости (V, Е) при отображении V = о-2, Е = Е мы будем также называть эффективным фронтом (см. рис. 3.6). Зная эффективный фронт на одной из плоскостей (<т, Е) или (V, Е), нетрудно определить его на другой плоскости.

На плоскости (V, Е), так же как и на плоскости (<т, Е), эффективный фронт является кривой, выпуклой вверх. Можно даже сказать, что на плоскости (V, Е) эта кривая более выпукла, чем на плоскости (сг, Е) (не будем пытаться придать этим словам строгий смысл - сделать это не очень сложно, но введение соответствующих понятий не является для нас необходимым). В частности, на плоскости (<т, Е) эффективный фронт может содержать прямолинейные участки. На плоскости (V, Е) прямолинейных участков на эффективном фронте быть не может.

Напомним, что если портфель определяется набором чисел хх, Жг, .. , хп, то математическое ожидание доходности имеет вид

E = £xiEd, i=i

где Ej - E(Rj), а дисперсия доходности имеет вид

п п

где dj - Cov(Ri,Rj).

Пусть А > 0 - некоторое число. Рассмотрим на плоскости (V, Е) прямые

-\Е + V = а,

отвечающие различным а (см. рис. 3.7). (Дисперсия случайной величины, конечно, не может быть отрицательным числом, но мы можем в данном случае рассматривать эффективный фронт просто как кривую на плоскости (V, Е).)

Рис. 3.7. Эффективный фронт и семейство прямых -ХЕ + +V = а для некоторого А > О

Пока а является отрицательным числом, большим по абсолютной величине, прямая - ХЕ + V = а не пересекается с эффективным фронтом. При увеличении а прямая -ХЕ + V - а приближается к эффективному фронту. На-