конец, при каком-то а происходит соприкосновение (на рис. 3.7 соприкосновение происходит при а = аг). В - это точка соприкосновения данной прямой с эффективным фронтом.

Рис. 3.8. Эффективный фронт и соприкасающиеся с ним прямые -ХЕ + V = а при различных А

Как определить то значение о, при котором происходит соприкосновение? Это минимальное из всех о, при которых на прямой - ХЕ -1- = 0 есть точка с координатами (Еа, Vo), где Eq - ожидаемая доходность одного из рассматриваемых

портфелей, a Vq - дисперсия доходности этого портфеля. Таким образом, надо найти минимальное значение выражения

-а;£>+ (з.з)

3=1 г=1 j=l

которое может быть достигнуто при xi, х2,..., жп, удовле-творяюшдх условиям (3.2).

На самом деле нас интересует не столько само минимальное значение а, при котором прямая -ХЕ + V - a w. эффективный фронт имеют общую точку, сколько тот набор чисел Xi, х2, , хп, при котором это минимальное значение а достигается. Этот набор чисел ж1? х2,..., хп определяет один из эффективных портфелей. Обозначим этот набор

ж(А) = (Ж1(А),ж2(А),...,жп(А)).

При изменении А от 0 до +оо точка соприкосновения описывает весь эффективный фронт (см. рис. 3.8).

При А = 0 набор чисел ж (А) определяет эффективный портфель с минимальным возможным риском. При увеличении А для эффективного портфеля, определяемого набором чисел ж (А), увеличивается и математическое ожидание доходности Е, и дисперсия доходности V. При А = оо набор чисел ж(А) определяет эффективный портфель с максимально возможной ожидаемой доходностью.

На рис. 3.9 показан возможный вид графиков функций *i(A), х2(Х),... ,ж (А), когда выпуск ценных бумаг не разрешен. (Приведен случай, когда существуют такие 4 ценные бумаги, что при любом А эффективный портфель не содержит других ценных бумаг кроме этих четырех.)

Каждая из функций Ж;(А) является непрерывной кусочно-линейной функцией. Это означает, что графики функций состоят из отрезков прямых линий. Те точки А, в которых

какая-либо из функций ж,(А) испытывает разрыв производной, называются угловыми точками. На рис. 3.9 это точки Ai, Аг, А3, А4. В число угловых точек также включается точка А = 0. Эффективные портфели, соответствующие угловым точкам А, называются угловыми портфелями.

Мы сказали, что функции i(A), х2(Х),..., жп(А) могут быть непрерывными кусочно-линейными функциями. Остаются два вопроса. Почему они могут быть такими? Могут ли эти функции иметь какой-либо другой вид? Структура эффективного фронта будет рассмотрена в §9, где приведены условия (достаточно общего вида), при соблюдении ко-