величины i?2, , Rn, Rm обладают следующим свойством. При каждом i = 1,2,... , те существуют числа c*i и Д такие, что для случайных величин определяемых уравнениями

Ri = оц +/3iRM + ei, (5.1)

выполняются следующие условия. При всех г

E(ei) = 0, Cov(£i, RM) = 0, (5.2)

и при i ф j

Cov(ei,Ej) = 0. (5.3)

Для оценки чисел оц и $ по известным значениям доходностей в различные моменты времени может быть использован аппарат регрессионного анализа (см., например, [38]). Эти числа называются коэффициентами Альфа и Бета для данной ценной бумаги. Особенно важную роль при анализе рынка и выработке решений играют коэффициенты Бета.

Условие (5.3) является очень сильным упрощением и основной характеристикой модели с одним индексом. Оно означает, что единственная причина, по которой доходности различных ценных бумаг меняются взаимосвязанно, - это изменение индекса Rm- Если исключить влияние этого индекса, то доходности различных ценных бумаг становятся независимыми, и изменение любой из них никак не связано с изменением всех остальных. Например, модель с одним индексом не может передать того, что доходности ценных бумаг, относящихся к различным отраслям промышленности, могут изменяться по-разному, а внутри одной отрасли - более или менее согласованно. Для преодоления этого недостатка используются модели с несколькими индексами, о которых будет сказано в конце данного параграфа.

Будем пользоваться обозначениями

of = D(et), ам = D{RM), Et = ВД), Сц = Cov(Ri, Rj).

В частности, Сц - D(Ri). Из условий (5.1), (5.2) и (5.3) следует, что

ценной бумаги Сц, которую мы рассматриваем как математическую модель риска, складывается из двух частей. Эти слагаемые могут трактоваться как риск, связанный с общим состоянием рынка и с коэффициентом Бета данной ценной бумаги, /?? ам, и риск, относящийся только к данной ценной бумаге, <х2. Риск /?? о~м называется систематическим риском. Риск arf называется несистематическим риском.

Напомним, что портфель ценных бумаг определяется набором чисел 1, ж2,.. , хп, таких, что

Математическое ожидание доходности портфеля

(5.6)

Дисперсия доходности портфеля

(5.7)

Из (5.1) и (5.2) получаем

t=l г=1

Из (5.4) и (5.5) получаем

°-2 = ЕЕ*ж; & стм + Х>2

г=1 j=l г=1

Отсюда легко увидеть, что

о-2 = (е а) (е *i ft) °2м + Е *? *?

Если определить коэффициент Бета для портфеля

2 д2 2 , 2 2

Рассмотрев, например, случай х\ = ж2 = ... = хп = 1/п., нетрудно увидеть, что сумма

Х>?*? = -(-£>?)

стремится к нулю при увеличении п, если дисперсии всех случайных величин б{ ограничены сверху одним и тем же числом. Поэтому при больших п риск хорошо рассредоточенного портфеля определяется систематическими рисками