входящих в портфель ценных бумаг и приближенно может быть представлен в виде

а -Р °м-

Теперь мы можем дать хотя и менее строгое, но относящееся к более общим ситуациям, чем только модель с одним индексом, определение систематического и несистематического рисков. Тот риск, который потенциально может быть исключен при помощи рассредоточения капитала по различным видам ценных бумаг, называется несистематическим. Тот риск, который нельзя исключить путем рассредоточения капитала, называется систематическим.

В §4 было показано, что при возможности покупки и выпуска безрисковой ценной бумаги с доходностью Rp на эффективном фронте можно выделить оптимальный портфель. В некоторых случаях набор чисел х%, х2,..., ж , который определяет оптимальный портфель, может быть найден при помощи явных формул. Проведем разбор одного из таких примеров.

Будем считать, что используется модель с одним индексом, дисперсии и ковариаций доходностей ценных бумаг определяются по формулам (5.4) и (5.5). При построении эффективного фронта на определяющие портфель числа Ж1, #2,..., хп накладываются ограничения вида равенств и неравенств

YaXi = bj, j - 1,2,...,га, х> /ь ж2 > h,... хп> 1п.

(5.8)

Будем считать, что отсутствуют все ограничения на выпуск ценных бумаг (т. е. Zi = /2 = ... = / = -оо) и вообще

отсутствуют все ограничения вида неравенств, т. е. N = п (мы уже неявно предположили это, не включив в условия (5.8) вспомогательные переменные xn+i,..., xn).

Будем считать, что в условиях (5.8) то = 1 и единственное ограничение вида равенств - это обычное условие

1 + х2 + ... + хп = 1.

В конце §3 мы говорили, что при таких ограничениях эффективный фронт на плоскости (сг, Е) является частью гиперболы или частью прямой линии. Будем считать, что идеальной корреляции доходностей нет, и эффективный фронт является частью гиперболы.

Положим

°~м J2i=i

Р№ - RF)

= 1,2,

xi = =£-, t = l,2,...,n. (5.9)

E,-=i Уз

Мы покажем, что набор чисел ж15 х2, , хп, определяемый по формулам (5.9), соответствует оптимальному портфелю. Читатель, не заинтересованный в математических подробностях, может опустить приводимое ниже доказательство.

В §4 было показано, что если набор чисел хг, ж2,..., жп определяет оптимальный портфель, то именно при этих значениях si, ж 2, , хп достигает максимума функция

о/ л Е - RF в(хи ж2,..., ж ) =-,

где Е и ег как функции х\, ж2,..., жп определяются по формулам (5.6) и (5.7). Поскольку речь идет об отыскании условного максимума, составим функцию Лагранжа

1(ж1? Ж2, . . , Ж , А) = 9(х1, Ж2, . . . , ЖП)-А-(Ж! + Ж2 + . . + Ж -1).

Необходимое условие максимума - это равенство нулю частных производных:

М=0 И Э£=0

дх\ дх2 дхп

После дифференцирования получаем систему уравнений

(\ -1/2 i=i i=i

(\ -3/2 ЕХ><7 1 = А,

к = 1,2,..., п.

Домножив к-е уравнение на xk и сложив все эти уравнения, получаем

Е Ё У =i i=i /