Условие

принимает вид

Ч-ъ--Х>.С7.* + (Я* - ВД == 0.

i=l j=l

Введем обозначение

t=i Ь - Kf

a = -z,-=-=

t=i j=i

<T2

Тогда числа sl5 s2, , xn, соответствующие оптимальному портфелю, должны удовлетворять системе уравнений

a-Jz2xiCik = Ek-RF, к = 1,2,..., п. i=i

Введем обозначение

yi = a-Xi, г - 1,2,...,п.

Тогда величины у\, у2, , Уп удовлетворяют системе линейных алгебраических уравнений

Y,yidk = Ек- RF, fc = 1,2, , t=i

Воспользовавшись формулами (5.4) и (5.5), получаем

Ук.о-1 + Уг&(Зк(гм - Ек - Rf, к = 1,2,...,п. =i

Отсюда

Ук = Ек ~ fffcf ( iiViPi) fe = l,2,...,n,

ak ak W /

(5.10)

Каждое из уравнений (5.10) определяет величину у к неявно, так как эта величина входит и в левую, и в правую часть уравнения. Чтобы получить явные выражения для ук, умножим каждое из уравнений (5.10) на 0к и сложим все эти уравнения. Тогда

(£**)-£*-*-(£ л)-£;£

Vfc=l / k=l ак \к=1 I к=1 ак

Отсюда

Подставляя это выражение в (5.10), получаем

Из этого и из условия yi = а Xi при г = 1,2,..., п следует, что набор чисел (5.9) определяет оптимальный портфель.

Отметим, что для оптимального портфеля а > 0. Поэтому при любом г числа ж и у имеют один и тот же знак. Ограничимся рассмотрением случая

/?i>0, /?2 >0,...,/?п >0.

Из полученных формул можно сделать следующий вывод. При составлении оптимального портфеля г-я ценная бумага должна быть куплена, если

Ei ~ Rf > л

А >А

(в этом случае у; > 0 и жг- > 0) и г-я ценная бумага должна быть выпущена, если

(в этом случае у, < 0 и ж,- < 0). Отметим, что от вели-Ei - Rf

чины отношения--- зависит не только то, должна ли

быть г-я ценная бумага куплена или выпущена, но и то, в какой пропорции данная ценная бумага должна входить в оптимальный портфель.

Найдя оптимальные портфели при двух различных значениях процентной ставки Rf, можно восстановить весь эффективный фронт. Это следует из линейности функций ж1(А),ж2(А),..., жп(А), рассмотренных в §3.

На этом мы закончим рассмотрение примера, когда при использовании модели с одним индексом числа xi, ж2, , жп,