определяющие оптимальный портфель, могут быть найдены по явным формулам. Отметим, что и в более общих ситуациях решение вопроса о включении г-й ценной бумаги в портфель существенно зависит от величины отношения Ej - RF

Модель с несколькими индексами - это естественное обобщение модели с одним индексом. Пусть мы рассматриваем к индексов, которым соответствуют случайные величины li, I2, , Ik- При каждом г = 1,2,..., те считаем, что справедливо уравнение

Ri = оц + Pah + Pah + + Pikh + е{,

где свойства случайных величин £{ аналогичны свойствам этих же случайных величин в модели с одним индексом. Тогда формулы для дисперсий и ковариаций сходны с формулами (5.4) и (5.5). Основные затруднения вызывает вопрос о том, какие именно индексы выбирать для включения в модель и приводит ли увеличение числа индексов к улучшению модели. Но рассмотрение этого вопроса выходит за рамки данной книги.

6. Анализ полезности

Изложение портфельной теории часто строится так, что понятие полезности привлекается при рассмотрении большинства вопросов. Мы пошли по другому пути, который также используется достаточно часто, собрав вопросы, связанные с полезностью, в одном параграфе.

Рис. 6.1. Вогнутая функция полезности

Доходность (по крайней мере, теоретически) может быть любым действительным числом (если мы допускаем, что доход может быть отрицательным). Пусть на множестве действительных чисел определена монотонно возрастающая

обычно достаточно гладкая функция U, которую мы будем называть функцией полезности (см. рис. 6.1). (Обозначение U происходит от английского слова utility - полезность.) Рассматривается следующая задача: определить портфель из ценных бумаг, для которого математическое ожидание случайной величины U(R) максимально. Случайная величина Л, как и раньше, означает доходность портфеля ценных бумаг. Этот подход к составлению портфелей ценных бумаг имеет название максимизация ожидаемой полезности. Если рассмотреть функцию

Ui{R)=a + W(R), Ь>0,

E{Ui(R)) = a + bE(U(R))

и максимум E(Ui(R)) достигается для того же портфеля, что и максимум E(U(R)). Поэтому без уменьшения общности можно ограничиться рассмотрением функций U, таких, что

U(-l) = -1, Г/(0) = 0.

Никогда не следует усложнять дело без необходимости. Почему нельзя ограничиться рассмотрением случайной величины U(R) = R, т. е. считать, что полезность равна или пропорциональна доходности, и не вводить еще один термин? Среди рассматриваемых нами функций U(r) присутствует и функция U(г) = г, однако, как будет показано ниже, другие функции полезности позволяют лучше передать поведение реального вкладчика, чем функция полезности U(r) - г.

Функция U(t), график которой изображен на рис. 6.1,