является строго вогнутой23. Если эта функция дважды непрерывно дифференцируема, то U (r) < О при любом действительном г. Вкладчик, составляющий портфель так, чтобы достигался максимум ожидаемой полезности, когда функция U(г) вогнутая, называется вкладчиком, нерасположенным к риску, или вкладчиком с нерасположенностью к риску.

Рис. 6.2. Линейная функция полезности

Функция U(r), график которой изображен на рис. 6.2, является линейной, т. е. U (r) = 0 при любом действительном г. Вкладчик, составляющий портфель так, чтобы достигался максимум ожидаемой полезности, когда функция U(r) линейная, называется вкладчиком, безразличным к риску.

Определение вогнутой функции приведено в §3.

Функция U(r), график которой изображен на рис. 6.3. является строго выпуклой. Если эта функция дважды непрерывно дифференцируема, то U (r) > 0 при любом действительном г. Вкладчик, составляющий портфель так, чтобы достигался максимум ожидаемой полезности, когда функция U(r) выпуклая, называется вкладчиком, склонным к риску.

Рис. 6.3. Выпуклая функция полезности

Поясним эти определения на примере. Пусть у вкладчика есть две возможности. Первая возможность состоит в том. чтобы вложить свой капитал в ценные бумаги, у которых доходность

-rj с вероятностью 0.5, 7*2 с вероятностью 0.5,

П и г2 положительные числа, т. е. с вероятностью 0.5 капитал уменьшается и с вероятностью 0.5 он возрастает. Вторая возможность состоит в том, чтобы не вкладывать капитал ни в какие ценные бумаги. При выборе второй возможности доходность равна 0 и полезность, следовательно, также равна 0. Выбирая между этими двумя возможностями и максимизируя ожидаемую полезность, вкладчик выберет первую возможность, если

E(U{R)) = Щ-гх) 0.5 + Щг2) 0.5 > 0.

Вкладчик может выбрать как первую, так и вторую возможность, если

tf(-ri) 0.5+ tf(r2)-0.5 = 0,

и выберет вторую возможность, если

Г/(-п) 0.5 + U(r2) 0.5 < 0.

Если функция полезности является вогнутой, т. е. мы имеем дело с вкладчиком, нерасположенным к риску, то условие

Щ-п) + U{r2) > 0 (6.1)

может выполняться только при т2 > гх. Поэтому, если вкладчик, нерасположенный к риску, выбрал первую возможность, т. е. вложил свой капитал в рассматриваемые ценные бумаги, это означает, что г2 > гх. При равновероятных выигрыше и проигрыше вкладчик, нерасположенный к риску, будет играть только если размер выигрыша больше размера проигрыша, причем больше на определенную величину, зависящую от вида функции полезности. Действительно, условие (6.1) для вогнутой функции U выполняется