а при фиксированном оОи при

- это семейство окружностей на плоскости (<r, Е)

/ 1 а + 1\2 2 с (\ а+ 1\2 V 2а/ а \2 а /

На рис. 6.5 (при а = -0.2) и 6.6 (при а = 0.2) изображены по три окружности из каждого семейства, отвечающие различным с.

Ограничимся рассмотрением вкладчиков, нерасположенных к риску, т. е. вкладчиков с вогнутой функцией полезности (6.2). Будем считать, что а < 0 и а фиксированно.

Пусть портфели составляются из п рисковых ценных бумаг при наличии каких-то ограничений. На рис. 6.7 показаны эффективный фронт и одна из окружностей, заданная уравнением (6.3). Эта окружность пересекается с эффективным фронтом в единственной точке А. Если мы увеличим с, то радиус окружности, заданной уравнением (6.3), уменьшится, и эта окружность не будет пересекаться с эффективным фронтом. Таким образом, путем максимизации ожидаемой полезности из всего множества эффективных портфелей выбирается тот портфель, которому соответствует точка А на плоскости (<r, Е). Этот портфель зависит от выбранного значения а при определении функции полезности в (6.2).

Если к п рисковым ценным бумагам добавлена безрисковая ценная бумага с доходностью Rp, которую можно как продавать, так и выпускать, то, как было показано в §4, эффективный фронт располагается на прямой линии (см. рис. 6.8). Точка С соответствует оптимальному портфелю

из рисковых ценных бумаг. На этом эффективном фронте, как и в случае, когда рассматриваются портфели, состоящие только из рисковых ценных бумаг, можно выделить портфель с максимальной ожидаемой полезностью, которому на рис. 6.8 соответствует точка А. В данном случае функцией полезности определяется размер средств, которые следует заимствовать или одолжить, т. е. направить на выпуск или покупку безрисковой ценной бумаги.

Рис. 6.8. Определение портфеля А из рисковых и безрисковой ценных бумаг путем максимизации ожидаемой полезности

Первым шагом в создании теории полезности стало решение задачи о Санкт-Петербургском парадоксе. Этот парадокс был обнаружен в XVIII веке Н.Бернулли, а объ-

яснение было дано Д.Бернулли24, работавшим в те годы в Санкт-Петербурге. Отсюда и произошло название Санкт-Петербургский парадокс .

Задача Н.Бернулли имеет следующий вид. Определить, сколько должен заплатить Павел Петру за возможность сыграть в следующую игру. Игра заключается в бросании монеты и прекращается при первом появлении герба. Если герб выпадает при первом броске, то Петр платит Павлу один дукат. Если при первом броске выпадает решетка, а при втором - герб, то Петр платит Павлу 2 дуката. Если при первых двух бросках выпадают решетки, а при третьем - герб, то 4 дуката, и т.д. Если впервые герб выпадает при n-м броске, то Петр платит Павлу 2П-1 дукатов.

Возможные исходы игры, вероятности этих исходов и соответствующие выигрыши Павла приведены в таблице 6.1.

Таблица 6.1

Пусть случайная величина X обозначает выигрыш Павла. Найдем ее математическое ожидание.

Д(Х) = 1.1+2.1+... + 2 .+...=

24Bernoulli D. Specimen Theoriae Novae de Mensura Sortis. Commentarii Academiae scientiarum imperialis petropolitanae, vol.5, 1738; перепечатано: Exposition of a New Theory on the Measurement of Risk. Econometrica, January 1954, 23 - 36.