1 1 1

= 2+2 +---+2 +--- = °°-

Таким образом, по справедливости Павел должен заплатить Петру за возможность сыграть в такую игру бесконечно большую сумму денег, и, разумеется, Павел должен соглашаться играть за любую конечную сумму денег, которую назовет Петр.

Парадокс заключается в следующем. Представьте себя на месте Павла. Сколько Вы заплатите за возможность сыграть в такую игру? Вряд ли больше 2-3 (конечно, не дукатов, а современных денежных единиц, но суть дела от этого не меняется). Очень азартный человек может заплатить за возможность сыграть в такую игру 5 - 7, но едва ли больше. Во всяком случае, сколь угодно большую сумму не заплатит никто. В чем же здесь дело?

Д.Бернулли предложил следующее решение. Оценивать эту игру следует не по математическому ожиданию случайной величины X, а по математическому ожиданию случайной величины U(X), где U(x) = log ж, и сравнивать E(U(X)) с U(P), где Р - плата за игру. Говоря современным языком, Д.Бернулли ввел функцию полезности U(x) и потребовал, чтобы ожидаемая полезность выигрыша была не меньше, чем полезность суммы, заплаченной за игру25. Функция полезности U(x) является монотонно возрастающей. То, что эта функция является вогнутой, передает нерасположенность к риску. Для того чтобы определить сумму, больше которой Павел не должен платить за участие в игре, найдем

253десь мы используем немного другой подход, чем в начале параграфа. Полезность определяется не как функция от доходности, а как функция от стоимости имущества. Эти два подхода являются близкими и взаимосвязанными.

математическое ожидание случайной величины U(X).

ОО 1

Е(ЩХ)) = E1°g2-1-~ =

n=l *

= £(n-l)log2.-=log2.£ -i.

n=l z n=l z

Покажем, что

< on

Отсюда будет следовать, что E(U(X)) - log 2 = £7(2). Таким образом, при функции полезности U(x) = log(x) Павел должен играть, если Петр потребовал с него за возможность сыграть в данную игру меньше 2 дукатов, и не должен играть, если Петр потребовал с него больше 2 дукатов. Имеем

я- 1 1 2 3 4

2 ~4 +8 +16 + 32 + ~

1 1 j j ~4 +8 +1б +32+ +

1 1 1

+ 8 +16 + - +

1 1

+ 16 +32+- +

Независимо от Д.Бернулли решение задачи Н.Бернулли примерно в то же время было предложено Г.Крамером, который использовал функцию полезности U(x) = у/х и получил, что математическое ожидание полезности выигрыша равно полезности суммы, которая несколько больше 2 дукатов (см. [8]).