§ 7. Другие вопросы, связанные с уменьшением риска

В этом параграфе приведено несколько примеров, покалывающих, что уменьшение стандартного отклонения доходности носит позитивный характер, а также за счет чего это уменьшение может быть достигнуто.

До сих пор мы говорили о доходности за один период времени (£, t + At). Теперь мы коснемся вопроса, как изменяется стоимость ценной бумаги или стоимость портфеля за к периодов времени (t,t+At), (t+At,t+2At), (t+(k-l)At,t+kAt). Еще раз подчеркнем, что приводимый ниже материал - это несколько примеров. Все они носят очень упрощенный характер и не претендуют на роль исчерпывающего анализа многопериодной задачи.

Если речь идет о портфеле, то мы считаем, что его состав не изменяется с момента времени t до момента времени (t + к At). Введем случайные величины Gi,G2,..., Gu- Gi - это доходность рассматриваемой ценной бумаги или рассматриваемого портфеля за период времени (t + (г - 1)At, t + +iAt), ъ - 1,2,..., к. Раньше мы обозначали доходность через R. В этом параграфе нам удобнее изменить обозначение.

Определим случайную величину

G=[(l + Gi)-(l + G9)-...-(l + Gb)]1k-l,

которую назовем темпом роста капитала.

Поясним данное определение. Пусть g,gi,gz, .. ,gk -значения, принимаемые случайными величинами G, G\,G2;

..., Gk. Если стоимость рассматриваемой ценной бумаги или портфеля в момент t равна St, то чему будет равна стоимость этой ценной бумаги или портфеля St+kAt в момент времени (t + kAt)l Допустим, что для каждого г (1 < г < к) доход D, полученный от владения ценной бумагой в период времени (t + (г - l)At,t + iAt), равен нулю. Тогда

St+k&t = St (1 + flfi) (1 + д2) (1 + 9k).

Если бы доходность для любого из к периодов равнялась одному и тому же числу д, то при каком значении д была бы получена та же стоимость ценной бумаги или портфеля St+kAt ? Для этого нужно, чтобы выполнялось равенство

= + ...(!+ )

Исходя из полученной формулы и дано определение случайной величины G.

Будем считать, что все случайные величины Gi,G2, ... ,Gk имеют одинаковые математические ожидания и одинаковые дисперсии. Позднее мы сделаем предположение, что эти случайные величины еще и независимы.

Посмотрим, как связан темп роста капитала с математическим ожиданием и дисперсией случайных величин Gi, G2,..., Gk- Введем обозначения

Е = E(GX) = = E(Gk), а2 = Z?(Gi) = ... = D(Gk).

(7.1)

Найдем приближенное выражение для log (1 + G) (log -это логарифм по основанию е). Имеем

log (I + G) - i.(log (1 + Ga)+log (1 + G2)+.. .+log (1 + Gk)).

Воспользовавшись при i = 1,2, ...,k формулой Тейлора и отбросив члены третьего и более высоких порядков малости, получаем log (1 + (?, ) Gi - 0.5 G\. Отсюда

log (1 + G) i-(Gi + C7a + .. .+Gfe)-£-0.5(G2 + G2 + .. .+G2). Считая G > - 1, введем функцию полезности tf(G)=log(l + G),

эта функция является монотонно возрастающей и вогнутой. Имеем

Я(Г/(С)) i (S(Ga) + £(G2) + ... + E{Gk))-

-±-0.b(E(Gl) + E(Gl) + ... + E(Gl)).

Воспользуемся тем, что

E{G\) = E(Gi)2 + D{Gi), i = l,2,...,k.

При помощи (7.1) получаем

E{U(G)) Я - 0.5 Я2 - 0.5 <r2.

Функция i? - 0.5 i?2 является монотонно возрастающей при Е < I26. Поэтому из полученной формулы можно сделать

26Отбросив члены третьего и более высоких порядков малости после применения формулы Тейлора, мы неявно предположили, что случайные величины d в основном принимают значения между -0.3 и 0.3. Условие Е < 1 при этом, конечно, выполняется. Отметим работу: Hakansson N.H. Capital Growth and the Mean-Variance Approach to Portfolio Selection / / Journal of Financial and Quantitative Analysis. 1971. V.6. P. 517 - 557. В этой работе рассматриваются примеры, в которых доходность за один период может быть больше 1; результаты в этом случае носят другой характер.