средоточен капитал, несущественны. Важны только доходности для различных видов имущества, а также то, как эти доходности могут изменяться и как они связаны между собой. Поэтому в дальнейшем мы будем говорить о рассредоточении капитала ло различным видам ценных бумаг. Это делается с единственной целью упростить изложение. Никакие отличительные особенности ценных бумаг по сравнению с другими видами имущества нами не используются.

Мы будем рассматривать идеальный рынок, где выполняются следующие условия. Предполагается, что все ценные бумаги абсолютно ликвидны и бесконечно делимы. Это означает, что в любой момент времени можно купить или продать любое количество каких угодно ценных бумаг и даже сколь угодно малую долю любой ценной бумаги. Цена покупки совпадает с ценой продажи. Расходы на покрытие трансакционных издержек и уплату налогов в расчет не принимаются.

Кому-то сделанные предположения могут показаться слишком далекими от реальной жизни. Однако именно теория, построенная при указанных предположениях, является базовой. Изменение в той или иной форме этих предположений приводит к усложнению теории и к приближению ее к реальной жизни.

Допустим, что цель управления заключается в том, чтобы к моменту времени (t + At) путем вложения средств в ценные бумаги максимально увеличить капитал, имеющийся в момент времени <9. Если бы доходности для всех ценных бумаг были предсказуемы абсолютно точно, то вопрос о

9 Это простейшая постановка задачи. Определение цели может быть и более сложным, например, если At велико. Мы коснемся этого вопроса в §7.

рассредоточении капитала не возникал бы. Нужно было бы просто вложить все средства, как собственные, так и, если это возможно, заемные, в ценные бумаги с максимальной доходностью.

Однако точная предсказуемость доходностей не входит в число исходных предположений. Поэтому вопрос о способах рассредоточения капитала возникает и должен быть изучен. При этом должна быть рассмотрена связь между ожидаемыми прибылями и размерами риска при различных возможных стратегиях.

Прежде чем переходить к моделированию риска математическими средствами, необходимо понять, что такое риск. В словаре русского языка С.И.Ожегова риск определяется как возможная опасность . Правомерно ли измерять эту опасность одним числом, например в каких-то денежных единицах? В рамках рассматриваемой теории мы даем утвердительный ответ на этот вопрос. Измеряя опасность одним числом или набором чисел, мы в определенной степени упрощаем ситуацию и делаем ее более доступной для анализа математическими средствами.

Но даже при таком соглашении существуют очень разные подходы к изучению риска10. Невозможно, да и, наверно, не нужно примирить все точки зрения и дать какой-то унифицированный метод описания риска. Мы сосредоточим внимание на том подходе к моделированию риска, который был предложен Г.Марковицем и который будет использоваться нами в дальнейшем.

10Например, подходы, принятые в [4], или в [7], или в [19], или в [29], это перечисление можно было бы и продолжить, совсем не похожи друг на друга.

Различные исходы, которые могут возникнуть после принятия решения, можно сравнивать между собой по размерам приобретений или потерь. Но эти размеры приобретений или потерь должны быть увязаны с вероятностями соответствующих исходов. Для того чтобы сделать это, необходимо использовать математический аппарат теории вероятностей. Описанию математического аппарата теории вероятностей посвящено большое количество учебников, и приводимое в этом параграфе краткое пояснение некоторых терминов ни в коем случае не претендует на то, чтобы эти учебники заменить.

Пусть на рынке существует п видов ценных бумаг. Доходность каждой ценной бумаги будем считать случайной величиной; для j-ж ценной бумаги обозначим эту случайную величину Rj. (Обозначение R происходит от английского слова return - доход, прибыль).

Вопрос о том, что такое случайная величина, подробно рассмотрен в [38]. Здесь мы напомним только, что так называется числовая функция, определенная на множестве достаточно общего вида и обладающая рядом свойств. Каждой случайной величине Rj ставятся в соответствие два числа. Одно из этих чисел называется математическим ожиданием случайной величины Rj и обозначается E(Rj). Математическое ожидание может пониматься как в некотором смысле среднее значение данной числовой функции. Другое число показывает, насколько сильно значения числовой функции в разных точках отличаются от ее среднего значения. Это число называется дисперсией случайной величины Rj и обозначается D(Rj)n. Точные определения математическо-

11 Существуют случайные величины, у которых не определена дисперсия, а возможно, и математическое ожидание. Нами такие случай-