бумаги слабо связано с изменением доходностей большинства других ценных бумаг. Данный пример принадлежит Г.Марковицу [10].

Пусть вкладчик решил направить свой капитал на покупку в равных долях 200 ценных бумаг, т. е.

Хх = Ж2 = . . = Ж199 = Ж200 =

Вкладчик уже выбрал 199 ценных бумаг. Доходность каждой из них имеет дисперсию V, а ковариация доходностей для любой пары этих ценных бумаг равна 0.5 V. В качестве 200-й ценной бумаги вкладчиком может быть выбрана либо ценная бумага А, либо ценная бумага В. Ценная бумага А аналогична выбранным 199 ценным бумагам. Дисперсия доходности ценной бумаги А равна V, и ковариация ее доходности с доходностью любой из 199 выбранных ценных бумаг равна 0.5 V. Ценная бумага В является высокорискованной, дисперсия ее доходности равна 100 V. В то же время доходность ценной бумаги В благодаря ее спекулятивному характеру практически не связана с общим состоянием рынка и с доходностями других ценных бумаг. Поэтому ковариации доходности ценной бумаги В с доходностями выбранных 199 ценных бумаг равны 0.

Дисперсия доходности портфеля, составленного из 200 ценных бумаг, равна

200 200

У) У) xixjC{j - i=l j=l

199 199 199

- X) X) xixjCij + Е Ж*ж20оС* 200+ i-1 j=l i=l

+ £ X200XJC200J + жгооЖгооСгоогоо-

3 = 1

Первое слагаемое в правой части равно V, его величина

не зависит от того, будет добавлена в портфель ценная бумага А или ценная бумага В. При добавлении ценной бумаги А сумма трех последних слагаемых правой части равна

2 199 0.5 V + V J

40000 ~ 200 У

При добавлении ценной бумаги В сумма трех последних слагаемых правой части равна

100 V 1

40000 400

Таким образом, при добавлении высокорискованной ценной бумаги В дисперсия доходности портфеля оказывается меньше, чем при добавлении традиционной ценной бумаги А.

В данном примере сумма трех последних слагаемых невелика по сравнению с первым слагаемым, но этот пример хорошо показывает роль ковариаций. Если бы в первом слагаемом правой части все ковариаций, не являющиеся дис-

персиями, были равны 0, то оно было бы равно не V, а 199

- V, т. е. было бы в 100 раз меньше.

40000

Существует также возможность уменьшения риска портфеля путем выпуска ценных бумаг. Пусть портфели составляются из те рисковых ценных бумаг. Мы уже неоднократно сталкивались с тем, что множество возможных портфелей (и, следовательно, эффективный фронт) зависит не

только от доходностей этих ценных бумаг, но и от тех ограничений вида равенств и вида неравенств, которые наложены на определяющие портфели наборы чисел, ж1} ж2,. , жп. Рассмотрим два эффективных фронта. Будем считать, что ограничения вида равенств в обоих случаях имеют один и тот же вид

Ах = Ь,

а ограничения вида неравенств различны. Первый эффективный фронт строится при ограничениях вида неравенств

*i > 0,ж2 > 0,...,ж > 0. (7.2)

Второй эффективный фронт строится при ограничениях вида неравенств

х\ > -оо, ж2 > -оо,..., хп > -оо. (7.3)

На каждом из этих двух эффективных фронтов выберем портфели с минимальными (для данного фронта) дисперсиями доходностей. Естественно, что данные эффективные портфели обладают и минимальными для своего эффективного фронта математическими ожиданиями доходностей. Доходность выбранного портфеля с первого эффективного фронта обозначим а доходность выбранного портфеля со второго эффективного фронта обозначим R . Очевидно, что

D(R ) < D{R),

так как множество возможных портфелей при ограничениях (7.3) шире, чем при ограничениях (7.2). Могут ли встретиться такие случаи, когда

D(R ) < D(R) ?