Ответ на этот вопрос положителен. Может оказаться (но это не всегда так), что на втором эффективном фронте существует портфель с доходностью R, такой, что

E{R) > E(R), D{R) < D(R)

(см., например, рис. 3.5).

Риск портфеля можно также уменьшить, включая в портфель финансовые деривативы. Примерами деривативов являются опционы, фьючерсы, свопы. К сожалению, основные учебники по деривативам, такие, как [5], [6], [15], на русский язык не переведены. Из имеющейся на русском языке литературы можно назвать книги [17], [23]30.

Пусть, например, рассматриваемые п рисковых ценных бумаг - это различные акции. Кроме акций рассмотрим еще к опционов на какие-то из этих акций. Опционом называется право купить или право продать некоторую акцию в течение определенного срока по определенной цене. В данном случае для нас несущественно, какие именно опционы рассматриваются.

Пусть параметры портфелей из акций ж1? ж2,..., ж удовлетворяют условиям (3.1). Для каждого такого портфеля можно рассчитать ожидаемую доходность Е и стандартное отклонение доходности (риск) а. Как и в §3, множество всех таких точек на плоскости (с, Е) обозначим через Q.

Пусть числа жх, ж2,..., жп, жп+1,..., хп+к являются параметрами портфелей из акций и опционов и удовлетворяют условиям

Ж1 + ж2 + ... + хп+к = 1

30Упомянем также обзор: Шведов А.С. О математических методах, используемых при работе с опционами Эконом, журнал Высшей школы экономики. Т.2. Вып.З (1998). С. 385 - 409.

при Xi > h, ... хп > ln,xn+i > О, ... xn+k > 0. Вместо условий xn+i > 0, ..., xn+k > 0 можно было наложить, например, условия xn+i > - оо, ..., хп+к > - оо. Для нас важно только, чтобы среди допустимых были портфели с параметрами xn+i = 0, ..., хп+к = 0, являющиеся портфелями из одних акций.

Для каждого портфеля из акций и опционов можно рассчитать ожидаемую доходность Е и риск а. Множество всех таких точек на плоскости (<т, Е) обозначим через Q. Очевидно, что Q С Q. При фиксированном Ео обозначим через (т(Е0) наименьшее значение координаты а для всех точек с координатами (<т, Е0) из множества Q. Через а(Е0) обозначим наименьшее значение координаты <т для всех точек с координатами (<т, Е0) из множества Q. В силу условия Q С Q выполняется соотношение а(Е0) < <r(JS0). Т. е. за счет включения в портфель опционов может быть достигнуто уменьшение риска портфеля при фиксированной ожидаемой доходности. А привести к увеличению риска при фиксированной ожидаемой доходности включение в портфель опционов не может. Расчеты показывают, что такое уменьшение риска действительно происходит.

§ 8. Модель оценки фондовых

активов

После того как основные положения теории эффективных портфелей были разработаны, следующим важнейшим с точки зрения практических приложений шагом явилось создание модели оценки фондовых активов. Эта модель позволяет сделать заключение, является тот или другой фондовый актив недооцененным или переоцененным, и дать соответствующую количественную оценку. Существует большое число разновидностей этой модели. Некоторые из этих разновидностей описаны, например, в [2]. Там же дан их сравнительный анализ й приведены результаты тестов, показывающие, насколько хорошо данные модели соответствуют реальному рынку ценных бумаг в США. Мы дадим описание только самой первой, наиболее простой модели оценки фондовых активов, которая является тем не менее одной из самых распространенных. Создание модели оценки фондовых активов связано с именами Шарпа, Линтнера, Моссина31. Нельзя сказать, что отношение всех специалистов к этой модели одинаково положительное32. Однако даже

31Sharpe W.F. Capital Asset Prices: A Theory of Market Equilibrium under Conditions of Risk Journal of Finance. 1964. V.19. P. 425 - 442 (см. также [13], с. 543 - 558); Lintner J. Security Prices, Risk and Maximal Gains from Diversification Journal of Finance. 1965. V.20. P. 587 - 615; Mossin J. Equilibrium in a Capital Asset Market Econometrica. 1966. V. 34. P. 768 - 783.

32См., напр.: Fama E.F., French K.R. The CAPM is Wanted, Dead or Alive J. of Finance. 1996. V. 51. N 5. P. 1947 - 1958.