В §5 было показано, что числа хх, х2,..., хп, отвечающие оптимальному портфелю М, должны удовлетворять системе уравнений

а XiCik = Ек - Rf, к = 1,2,... ,п, i=i

где а - некоторое число, не зависящее от к. В §5 было получено выражение для а. Ниже мы найдем выражение для а другим способом. Заметим, что

п п п

xtCih = 2xiCov(Ri,Rk) - Cov(52xiRi,Rk) = Cov(RM,Rk),

=1 i=l i=l

где случайная величина Ям - это доходность оптимального портфеля М. Условие

а Cov(RM, Rk) = E(Rk) - RF

выполняется при всех к = 1,2,..., п, т. е. для любой ценной бумаги. Следовательно, это условие выполняется для любой линейной комбинации случайных величин Ri, R2,..., Rn-Поэтому, если R - доходность произвольного портфеля, составленного из рассматриваемых ценных бумаг, то

а Cov(RM, R) = E(R) - RF. В частности, при Я = Rm получаем

а °м - Ем - Rf,

откуда

Ем - Rf

Подставляя найденное значение а, получаем соотношение

E(R) = Rf+Em~Rf Cov(RM, R). (8.1)

°~м

Формула (8.1) и есть то соотношение, которое мы хотели получить. Введем обозначение

= Cov{RM, Я)

Величина /З2 ам называется систематическим риском, а величина (<т2 - (З2 ам) - несистематическим риском. Эти определения находятся в соответствии с определениями §5, где мы рассматривали модель с одним индексом. Соотношение (8.1) может быть записано также в виде

E{R) = Rf + (3-(Em-Rf). (8.2)

Как связаны систематический риск ft ам и риск а -

Корреляция случайных величин Rm и R определяется по формуле

Cor(RM,R)=Cov{RMR).

ам о

Из определения коэффициента Бета следует, что ft - ом - Cor(RM, R) а.

Напомним, что корреляция любых двух случайных величин по абсолютной величине не превосходит 1. Поэтому

-а < Р ам < о .

Отсюда следует, что несистематический риск не может быть отрицательным числом.

Замечание. Многие результаты этого параграфа похожи на результаты §5, однако это сходство является скорее внешним. В §5 мы считали, что доходности Я,- определяются по формуле (5.1), т. е. каждая из случайных величин Я,-как-то зависит от Яд/, при этом никакой зависимости между доходностями различных ценных бумаг больше нет. В этом параграфе мы не накладываем подобного ограничения. С другой стороны, определенная в этом параграфе доходность рыночного портфеля Rm, конечно, может использоваться в качестве доходности индекса рынка. Но в §5 требования к случайной величине Rm были меньшие.

Рис. 8.2. Линия рынка ценных бумаг