бол направлены вверх в силу неотрицательной определенности квадратичной формы JliLi YljLi xi xj Су Этот рисунок помогает понять смысл условий (9.3) и (9.4).

Определение. Рассмотрим некоторую точку Л0 > 0. Пусть выполняются следующие три условия.

1. Существует число е > 0 такое, что при всех Л, принадлежащих интервалу (А0 - е, А0 + е), и при любом внутреннем по отношению к А0 индексе г

Xi(X) > 0.

2. Существует число е > 0 такое, что при всех А, принадлежащих интервалу (Ао - е, Ао + е), и при любом внешнем по отношению к Ао индексе г

х{{Х) = 0.

3. Если индекс г внешний по отношению к А0, то

-(х(Ао), (Ао)) >0.

Тогда точку А0 будем называть неугловой.

Те точки А, которые не являются неугловыми, будем называть угловыми. В число угловых точек включается также точка А = 0. Для примера, изображенного на рис. 3.9, угловыми заведомо являются точки Ах, А2, A3, А4.

В §3 мы утверждали, что функции ж;(А), соответствующие эффективным портфелям, являются непрерывными и кусочно-линейными. Ниже мы докажем теорему, из которой это утверждение легко следует, если сделать еще одно предположение.

Условие 3. Множество угловых точек конечно. Теорема. Если точка Л0 неутловая, то существуют числа

съ с2, > cn, di,d,2, . ,dm

и существует число е > 0 такие, что при любом А, принадлежащем интервалу (А0 - е, Ао + е), координаты векторов ж(А) и и(Х) имеют вид

х{{\) = Xi(\0) + а(\ - Ао), i = 1,2,..., N;

ик(\) - ик(\0) + dk(\ - А0), к = 1,2,... ,т.

Доказательство. Как мы и говорили, доказательство построено на теореме Куна - Таккера. Причем мы сначала воспользуемся тем, что условия (9.3) и (9.4) необходимы для того, чтобы вектор ж, удовлетворяющий условиям (9.2), был решением задачи (9.1), (9.2), а потом тем, что эти условия достаточны.

На основании уравнений (9.4), (9.2) составим систему из (ЛГ + га) линейных алгебраических уравнений относительно (N + га) неизвестных х%, ж2,..., жлг, Щ,и2, . ,ит. Правую часть во всех уравнениях будем записывать в виде многочлена первой степени от А.

Воспользуемся тем, что

дФ А

-(ж, и) = -A Ei + 2 2j asj Qj - 2J ukaik, i - 1,2,..., N. °Xi j=i fc=i

(9.5)

Для внешних по отношению к А0 индексов i уравнение (9.4) запишем в виде

Xi = 0 + 0 А.

(9.6)

Для внутренних по отношению к А0 индексов г уравнение (9.4) запишем в виде

Е 2 СИ хз ~ Е ак = 0 + Ei А. (9.7)

3=1 к=1

Оставшиеся т уравнений (9.2) имеют вид

y£,aikxi = bk + 0-\, к = 1,2,...,т. (9.8)

В силу условий 1 и 2 и теоремы Куна - Таккера компоненты векторов ж(Ао) и и(Хо) являются единственным решением системы линейных алгебраических уравнений (9.6) - (9.8) при А = А0. Поэтому определитель матрицы данной системы (а сама матрица не зависит от А, от А зависит только правая часть) отличен от нуля. Применяя метод последовательного исключения неизвестных (см., например, [26]), получаем, что при любом А решение системы (9.6) - (9.8) имеет вид

Xi = ai + Pi\, i = l,2,...,N;

(9.9)

Mjfe=7fc + A, к = 1,2,..., га,

где сц, 7fc, Sk - некоторые числа.

Осталось показать, что при А, близких к Ао, величины (9.9) удовлетворяют условиям (9.3) и (9.4) теоремы Куна -Таккера, и поэтому при этих А величины а, определяемые в (9.9), являются решением задачи (9.1), (9.2).

Согласно определению неутловой точки для внешних по отношению к А0 индексов г

-(я(Ао),м(Ао))>0.