Но из (9.5) и (9.9) следует, что дФ

7Г(х{\),и{\)) = Ь+тц\,

где ii.,r}i - некоторые числа. Поэтому для внешних по отношению к Ао индексов г в некоторой окрестности точки Ао

ИА), (А))>0.

Для внутренних по отношению к Л0 индексов г

(Ж(А),ЦА)) = 0

в силу уравнений (9.7). Поэтому условия (9.3) выполняются. Условия (9.4) выполняются в силу (9.6) и (9.7). Теорема доказана.

§ 10. Вычислительные процедуры для нахождения эффективных портфелей

В этом параграфе описан один из существующих способов построения эффективных портфелей. Описание разделено на три части. В первой части изложены основные идеи симплексного метода для решения задач линейного программирования. Здесь вводятся некоторые необходимые для дальнейшего понятия, эта часть приведена для того, чтобы сделать изложение замкнутым. Во второй части описан симплексный метод для решения задач квадратичного программирования. При этом задача квадратичного программирования сводится к задаче, похожей на задачу линейного программирования, но с нелинейным ограничением на переменные. В третьей части излагается метод критических линий, предназначенный для построения эффективных портфелей. При применении метода критических линий приходится несколько раз решать задачу квадратичного программирования.

Нужно ли разбираться с тем, как устроены алгоритмы, если существует большое число компьютерных программ, удобных для использования, в которых эти алгоритмы реализованы? Это все равно, что спрашивать, нужно ли знать географию, если существуют извозчики. Мы стоим на той точке зрения, что хотя извозчики, конечно, нужны, но географию все-таки тоже знать надо. Использование чужих

компьютерных программ ставит исследователя под тот потолок, который разработчик программы для него определил, если у исследователя нет хорошо прокомментированного полного исходного текста программы. Но разбираться с таким текстом часто труднее, чем написать свою программу. Незнание алгоритмов, предназначенных для решения базовой задачи, делает невозможным рассмотрение практических ситуаций, в которых необходимы не сами эти алгоритмы, а некоторые их модификации. Для рассматриваемого круга вопросов такой практической ситуацией может быть наличие существенной асимметрии в распределении доходностей .

1. Симплексный метод для решения задач линейного программирования. Задача линейного программирования формулируется следующим образом40. Пусть ci, сг,.. , cq - некоторые действительные числа. Среди всех g-мерных векторов х - (asi, х2,..., xq), удовлетворяющих приводимым ниже условиям (Ю.2) и (10.3), требуется найти тот (или один из тех), для которого значения функции

является максимальным. Условия, которым должны удовлетворять вектора ж, имеют следующий вид. Во-первых, существуют р-мерные вектора Do, Di, D2, .., Dq такие, что

39См., напр.: Chunhachinda P., Dandapani К., Hamid S., Prakash A.J. Portfolio selection and skewnese: Evidence from international stock markets J. of Banking and Finance. V. 21. N 2 (1997). P. 143 - 167.

Нашей целью является решить при всех А > 0 семейство задач (9.1), (9.2) из §9. Связь задач линейного программирования с этими задачами станет понятна во второй части настоящего параграфа.

(10.1)