го ожидания и дисперсии случайной величины могут быть найдены в курсах теории вероятностей, и мы приводить эти определения не будем. Дисперсия любой случайной величины неотрицательна. Чем больше дисперсия, тем больше разброс значений случайной величины. В частности, нулевая дисперсия означает, что случайная величина как числовая функция принимает только одно значение (которое в этом случае, конечно, является ее средним значением)12. Часто вместо дисперсии удобно использовать другую меру разброса случайной величины, называемую стандартным отклонением. Стандартное отклонение случайной величины определяется, как квадратный корень из ее дисперсии. Мы будем использовать для математического ожидания и стандартного отклонения доходности (Rj) обозначения

Е5 = E(Rj), от,- = y/D{Ri).

Каждой паре случайных величин Ri и Rj ставится в соответствие число, называемое ковариацией этих случайных величин. Строгого определения ковариаций, так же как строгого определения математического ожидания и дисперсии, мы давать не будем. Скажем только, что ковариация двух случайных величин показывает степень их зависимости. Если случайные величины независимы, то их ковариация равна нулю. Положительная ковариация случайных величин означает, что отклонение одной из этих случайных

ные величины для моделирования доходностей ценных бумаг использоваться не будут.

12На самом деле это не совсем так. Ради строгого построения математической теории следует принять, что случайная величина с нулевой дисперсией может принимать и другие значения, кроме своего среднего значения, но вероятность этого равна нулю. Однако рассмотрение таких тонкостей выходит за рамки этой книги.

величин в большую сторону от своего среднего значения вызывает отклонение другой случайной величины от ее среднего значения также скорее в большую сторону, чем в меньшую. Отрицательная ковариация случайных величин означает, что отклонение одной из этих случайных величин в большую сторону от своего среднего значения вызывает отклонение другой случайной величины от ее среднего значения скорее в меньшую сторону, чем в большую. Для ковариации случайных величин выполняются соотношения

Cov(Ri, Rj) \< Vi (Tj, Cov(Rj, Rj) = cr2j.

Если <7i > 0 и rjj > 0, то величина

CovjRi, Rj)

называется корреляцией случайных величин R{ и Rj. Мы будем пользоваться обозначением

dj = Cov{Ri,Rj).

Будем считать, что капитал в момент времени t равен 1, и обозначим через Xj средства, направленные на покупку j-й ценной бумаги. Должно выполняться соотношение

5> = i.

Возможно, Xj < 0 при некоторых j. Это означает, что соответствующие ценные бумаги не куплены, а проданы без покрытия на срок или, что то же самое, выпущены, и полученные при этом средства вложены в другие ценные бумаги.

Подробнее о том, что такое продажа без покрытия на срок, будет сказано в §2. Определение набора чисел i, жг, , ж -.это и есть решение задачи о рассредоточении капитала.

Доходность портфеля ценных бумаг, определяемого набором чисел xi, жг, , жп, обозначим через R, случайная величина R имеет вид

Д = ]Г ж,- Rj. i=i

Тогда математическое ожидание и дисперсия случайной величины R определяются по следующим формулам:

E(R) = £х,- ЕШ D(R) = £Х> xj Cov(Ri,Rj).

j-l i=lj-1

Для математического ожидания и стандартного отклонения доходности R будем использовать обозначения

Е = Я(Д), с = y/D(R).

Число Е будем называть ожидаемой доходностью портфеля. Риском для портфеля называется стандартное отклонение а. Называя стандартное отклонение а риском, мы подразумеваем, что оно является математической моделью для риска. Иногда нам будет удобнее считать математической моделью риска не стандартное отклонение о , а дисперсию о*. Мы будем пользоваться обеими этими возможностями без специальных оговорок.

Правильность (или хотя бы допустимость) выбора такой математической модели, как модели для риска, неочевидна. Конечно, большое стандартное отклонение <т, т. е. большой разброс, большая неопределенность в доходностях,