Промышленный лизинг Промышленный лизинг  Методички 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 [ 44 ] 45 46

методом. Но применить подобный метод бесконечное количество раз, чтобы найти эффективный портфель при любом Л, нельзя.

Ниже описан метод, позволяющий построить весь эффективный фронт, решив задачу квадратичного программирования лишь конечное число раз. Этот метод называется методом критических линий. Он был предложен в [10] и усовершенствован в [14]. Иногда его называют методом Марковица - Шарпа.

Будем предполагать, что имеют место допущения 1, 2 и 3, сделанные в §9. Тогда достаточно построить эффективные портфели, решив соответствующие задачи квадратичного программирования, только для угловых А. При всех остальных А величины i(A), Жг(А),..., ж#(А), определяющие эффективные портфели, могут быть построены путем линейной интерполяции по А между соседними угловыми точками, поскольку, как было доказано в §9, функции xi(A), жг(А),..., ждг(А) являются непрерывными и кусочно-линейными, графики этих функций могут иметь изломы только в угловых точках.

Но как определить, какие А являются угловыми? Метод критических линий предназначен для отыскания угловых точек А.

Прежде чем переходить к изложению этого метода, сделаем одно замечание. Эффективный портфель с минимальным стандартным отклонением может быть найден путем решения задачи квадратичного программирования (9.1), (9.2) из §9 при А = 0. Изначально неизвестно, какое А отвечает эффективному портфелю с максимальной ожидаемой доходностью. Но мы можем определить сам этот портфель, решив следующую задачу линейного программирования. Най-



ти максимальное значение функции

при ограничениях (9.2) из §9. Знание этого эффективного портфеля позволяет установить Л, отвечающее эффективному портфелю с максимальной ожидаемой доходностью. Действительно, если оказалось, что некоторый найденный эффективный портфель, соответствующий какой-то угловой точке Л, совпадает с эффективным портфелем с максимальной ожидаемой доходностью, то мы можем утверждать, что данное А и есть то Л, которое отвечает эффективному портфелю с максимальной ожидаемой доходностью. Значение Л, отвечающее эффективному портфелю с максимальной ожидаемой доходностью, обозначим Л.

Пусть А0 - некоторая неугловая точка, 0 < А0 < Л. Метод критических линий позволяет найти две ближайшие к Ао угловые точки а и Ъ, такие, что а < Х0 < Ь.

Решим задачу квадратичного программирования (9.1), (9.2) из §9 при А = Ао. Напомним, что индексы г, (1 < г < N), для которых ж(Ао) > 0, называются внутренними. Индексы г, (1 < г < N), для которых ж;(Ао) = 0, называются внешними. Все индексы i делятся на внутренние и внешние, поскольку переменные Х{ не могут быть отрицательными.

В §9 составлена система линейных алгебраических уравнений (9.6) - (9.8), которой должны удовлетворять функции Xj(X) и Uk(X) при всех А, достаточно близких к А0. Здесь j = 1,2,... ,N и к = 1,2,..., то. Уравнения (9.6) записываются для внешних индексов г, а уравнения (9.7) - для внутренних.



Будем использовать формулы, справедливость которых была установлена в §9. Для внутренних индексов г :

Xi = ai + А А.

Для внешних индексов г :

ЦИА),ЦА)) = & + А.

Числа t,A определяются при решении системы линейных алгебраических уравнений (9.6) - (9.8). Для определения чисел &,т]1 привлекается также формула (9.5).

На основании определения неугловой точки для внутренних индексов г

a-i + Pi Ао > 0. Для внешних индексов г

ti + т*о> 0.

Идея метода критических линий очень проста. Интервал (а, Ь) - это наибольший из интервалов, содержащих точку А0, и таких, что для любого А, принадлежащего (а,Ь), выполняются следующие неравенства. Для внутренних индексов г

оц+рг\>0, для внешних индексов г

Сг + ГЦ А > 0,

(см. рис. 10.2). Т. е. в качестве а нужно взять наибольшую точку, меньшую Ао, в которой либо для некоторого внутреннего индекса г

оц, + Pi а = 0,



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 [ 44 ] 45 46