когда корреляция р\2 равна соответственно 1, 0.33, -0.33, -1. Приведены только части кривых, отвечающие значениям 0 </*< 1, (Г > 0.

Рис. 3.2. Некоторые возможные сочетания рисков и ожидаемых доходностей для портфелей, составленных из трех ценных бумаг

Добавим к двум рассматриваемым ценным бумагам еще одну ценную бумагу 3 (см. рис. 3.2) и ограничимся пока рассмотрением портфелей с хх > 0, х2> 0, х3 > 0. На рис. 3.2 изображен случай, когда корреляции доходностей для любых двух ценных бумаг по абсолютной величине меньше 1, и кривые, соединяющие соответствующие точки, являются кусками гипербол. Рассмотрим портфель А, который состоит из равных долей ценных бумаг 1 и 2. Мы можем считать,

что портфель А является новой ценной бумагой, доходность которой имеет вид

RA = 0.5 Й1 + 0.5 Л2.

Рассмотрим портфель В, который состоит из равных долей А и ценной бумаги 3. Доходность портфеля В имеет вид

RB = 0.5 RA + 0.5 R3 = 0.25 #i + 0.25 R2 + 0.5 R3.

В приведенном примере мы брали равные доли ценных бумаг 1 и 2 для составления портфеля А и равные доли А и ценной бумаги 3 для составления портфеля В. Но мы могли брать и не равные, а какие-то другие доли. В этом случае положение точки В на плоскости (сг, Е) было бы другим.

Рассмотрим множество тех точек В на плоскости (сг, Е), координаты которых являются стандартным отклонением и математическим ожиданием доходности портфеля, определяемого каким-нибудь набором чисел Xi, х2, х3, таким, что

xi + х2 + х3 = 1, xi > 0, х2 > 0, х3 > 0.

Обозначим множество всех таких точек через Q. Определим подмножество Qo множества Q. Точка Во с координатами (сг0, Е0), принадлежащая множеству Q, входит в подмножество Qo, если она обладает следующими двумя свойствами.

1. Для любой другой точки В, принадлежащей множеству Q и имеющей координаты (а, Е0), выполняется условие о- > o-q.

2. Для любой другой точки В, принадлежащей множеству Q и имеющей координаты (<то, Е), выполняется условие

Е < Eq.

Подмножество Qo называется эффективным фронтом. Портфель, определяемый набором чисел жг, ж2, Жз, называется эффективным, если соответствующая ему точка В принадлежит эффективному фронту Q0. На рис. 3.3 сплошной линией изображен эффективный фронт, а кружками показаны точки, соответствующие нескольким другим портфелям.

Рис. 3.3. Точки, отвечающие портфелям с ожидаемой доходностью Е и риском сг (показаны кружками), и эффективный фронт (показан сплошной линией)

Эффективный фронт является вогнутой кривой.

Напомним, что действительная функция /(ж), определенная на некотором отрезке, называется вогнутой, если для любых значений аргумента ж и у и для любого а, 0 < а < 1,