на главные (базисные) и свободные, число которых равно л - т и через которые можно выразить все главные неизвестные.

До сих пор (при рассмотрении задач в предыдущей главе) мы были озабочены только вопросом поиска решения задачи, будучи уверены (и не без оснований), что искомое решение всегда существует. В данном случае дело обстоит немного иначе. Для того чтобы разобраться в его сути, прибегнем к наглядной геометрической интерпретации.

Рассмотрим частный случай, когда

л - т =2.

Предположим для определенности, что свободные неизвестные - это х\ и х2 (этого всегда можно добиться перенумерацией неизвестных). Тогда система линейных уравнений (-А-А-) сводится к равносильной ей системе

х, = апхх +а/2*2 +£ /=3, л. (*)

Введем на плоскости координат-ную систему Ох\х2 и ограничим наши рассмотрения только первой четвертью вследствие того, что свободные неизвестные хх и х2 должны принимать только неотрицательные значения (рис. 1).

Базисные неизвестные х3, х

также должны быть неотрицательны-

ми, О

х3 > 0, хп > 0. Рис. 1

Это обстоятельство накладывает на выбор значений свободных неизвестных хх и х2 определенные ограничения:

апхх +а/2х2 + >0, /=3, л. (*#)

Каждое из этих неравенств задает полуплоскость (рис. 2). Часть первой четверти, состоящая из точек (хь х2), принадлежащих одновременно всем л - 2 полуплоскостям, и есть та область, из которой допустимо черпать пары (хь х2) (рис. 3).

Опишем все случаи, когда в первой четверти нет ни одной точки (*ь х2), обеспечивающей неотрицательность главных неизвестных:

1) условия (**) противоречивы,

2) общая часть всех полуплоскостей, описываемых неравенствами (*#), целиком лежит вне первой четверти (рис. 4).

Рис. 4

Еще один неинтересный случай, когда общая часть всех полуплоскостей (##) неограниченна (рис. 5).

В реальных задачах описанных случаев, как правило, не бывает.

Все эти опасности подстерегают нас, главным образом, в придуман-ных , искусственно поставленных задачах, хотя иногда легкомысленное планирование (неполный учет имеющихся ресурсов) приводит к неразрешимым задачам линейного программирования ([2], с. 64).