В этих условиях протекание конфликта состоит в выборе каждым игроком своей стратегии и получении им в сложившейся ситуации выигрыша из некоторого источника.

Во вступительной главе в качестве основной цели, которую мы поставили перед собой, было выбрано описание методов поиска оптимальных решений. В главах, отведенных сетям и линейным задачам, в роли оптимальных выступали решения, доставляющие экстремум той или иной целевой функции. Однако в случае, когда число заинтересованных сторон больше или равно двум, такой подход уже невозможен. Поэтому, прежде чем приступать к поиску, важно определить, что именно следует искать.

Сказанное приводит к необходимости формирования представления о том, какое поведение игроков следует считать оптимальным (разумным, целесообразным), к выработке принципов оптимальности, выяснению реализуемости этих принципов, то есть установлению существования оптимальных в выработанном смысле ситуаций, и поиску соответствующих реализаций.

Одной из содержательных форм воплощения представления об оптимальности можно считать понятие равновесия, при котором складывается такая (равновесная) ситуация, в нарушении которой не заинтересован ни один из игроков.

Именно ситуации равновесия могут быть предметом устойчивых договоров между игроками (ни у одного из игроков не будет мотивов к нарушению договора). Кроме того, ситуации равновесия являются выгодными для каждого игрока: в равновесной ситуации игрок получает наибольший выигрыш (разумеется, в той мере, в какой это от него зависит).

Если в игре ситуации равновесия нет, то, оставаясь в условиях стратегий, имеющихся у игроков, мы сталкиваемся с неразрешимой задачей.

Поэтому при возникновении подобных случаев естественно ставить вопрос о таком расширении первоначального понятия стратегии, чтобы среди ситуаций, составленных из новых, обобщенных стратегий, находились в том или ином смысле равновесные.

Если такие обобщенные стратегии существуют, то их часто удается Представить в виде определенных комбинаций исходных стратегий. А чтобы отличать прежние стратегии от новых, первые называют чистыми, а вторые - смешанными стратегиями.

Весьма плодотворным является представление смешанной стратегии как случайного выбора игроком его чистых стратегий, при котором

случайные выборы различных игроков независимы в совокупности, а выигрыш каждого из них определяется как математическое ожидание случайного выигрыша.

Так преобразованная игра обычно называется смешанным расширением исходной игры.

5.1. Матричные игры

Рассмотрим игру, в которой участвуют два игрока, причем каждый из игроков имеет конечное число стратегий. Обозначим для удобства одного из игроков через А, а другого - через В.

Пусть игрок А имеет т стратегий - Аи Аъ Ат а игрок В - п стратегий Ви 2?2, В .

Будем считать, что выбор игроками стратегий А( и Вк соответственно однозначно определяет исход игры - выигрыш aik игрока А и выигрыш bik игрока В, причем эти выигрыши связаны равенством

Последнее условие показывает, что в рассматриваемых обстоятельствах выигрыш одного из игроков равен выигрышу другого, взятому с противоположным знаком. Поэтому при анализе такой игры обычно рассматривают выигрыши только одного из игроков. Пусть это будут, например, выигрыши игрока А.

Если нам известны значения aik выигрыша при каждой паре стратегий (в каждой ситуации) {Ah Вк}, / = 1,2,т9к = 1, 2,л, то их удобно записывать

или в виде прямоугольной таблицы, строки которой соответствуют стратегиям игрока А, а столбцы - стратегиям игрока В,

Матрица А имеет размер т х п и называется матрицей игры, или я/ш-тежной матрицей (отсюда и название игры - матричная).

Рассматриваемую игру часто называют т х п-игрой.

Замечание. Матричные игры относятся к разряду так называемых антагонистических игр, то есть игр, в которых интересы игроков прямо противоположны.

Пример 1. Каждый из двух игроков А и В одновременно и независимо один от другого записывает на листе бумаги любое целое число. Если выписанные числа имеют одинаковую четность, то игрок А получает от игрока В 1 рубль, а если разную, то наоборот - игрок А платит 1 рубль игроку В.

У игрока А две стратегии: А{ - записать четное число пА2 - записать нечетное число.

У игрока В такие же две стратегии: В\ - записать четное число и 2?2 - записать нечетное число.

Матрица этой 2 х 2-игры имеет следующий вид

(здесь строки соответствуют стратегиям игрока Л, а столбцы - стратегиям игрока В).

Замечание. Идущие явно от игр в общепринятом смысле термины игрок, выигрыш, платежная матрица, матрица выигрышей, цена игры к настоящему времени частично изменены на матрицу игры, значение игры. Для терминов игрок и выигрыш (вобравший в себя и проигрыш как выигрыш со знаком минус, отрицательный выигрыш), несмотря на многие попытки, подходящей замены пока не нашлось.

5.1.1. Равновесная ситуация

Рассмотрим следующий пример.

Пример 2. Два игрока АиВ,не глядя друг на друга, кладут на стол по картонному кружку красного (г), зеленого (g) или синего (Ь) цветов, сравнивают цвета кружков и расплачиваются друг с другом так, как показано в таблице