Промышленный лизинг
Методички
Попробуем определить оптимальные стратегии каждого из игроков. Начнем с последовательного анализа стратегий игрока Л, не забывая о том, что, выбирая стратегию, игрок А должен принимать в расчет, что его противник В может ответить на нее той из своих стратегий, при которой выигрыш игрока А будет минимальным. Так, на стратегию Аг он ответит стратегией Вг (минимальный выигрыш равен -2, что на самом деле означает проигрыш игрока А, равный 2), на стратегию Ag - стратегией Bg или Вь (минимальный выигрыш игрока А равен 1), а на стратегию Аь - стратегией Bg (минимальный выигрыш игрока А равен -3). Запишем эти минимальные выигрыши в правом столбце таблицы maxmin. Ясно, что игроку А разумно остановить свой выбор на стратегии Ag, при которой его минимальный выигрыш максимален (из трех чисел -2, 1 и -3 максимальным является 1), maxmin = 1, и при любом поведении противника ему гарантирован выигрыш, не меньший 1. Аналогичные рассуждения можно провести и за игрока В. Так как игрок В заинтересован в том, чтобы обратить выигрыш игрока Л в минимум, ему нужно проанализировать каждую свою стратегию с точки зрения выигрыша игрока А. Выбирая свою стратегию, игрок J? должен учитывать, что стратегией его противника А может оказаться та, при которой выигрыш игрока А будет наибольшим. Так, на стратегию Вг он ответит стратегией Аь (выигрыш игрока А равен 3), на стратегию Bg - стратегией Аг (выигрыш игрока А равен 2), а на стратегию Вь - стратегией Лили Аь (выигрыш игрока А равен 1). Эти выигрыши записаны в нижней строке таблицы minmax. Неудивительно, если игрок В остановит свой выбор на стратегии Вь, при которой максимальный выигрыш игрока А минимален (из трех чисел 3, 2 и 1 минимальным является 1), minmax = 1, и при любом поведении противника он проиграет не больше 1. В рассматриваемой игре числа maxmin и minmax совпали: maxmin = minmax = 1 (соответствующие элементы в таблице выделены жирным шрифтом). Стратегии Ag и Вь являются оптимальными стратегиями игроков А и Ag - Aopt, Bj, = Bopty в следующем смысле: при многократном повторении игры отказ от выбранной стратегии любым из игроков уменьшает его шансы на выигрыш (увеличивает шансы на проигрыш). В самом деле, если игрок А будет придерживаться не стратегии Д а выберет иную стратегию, например Ап то вряд ли стоит рассчитывать на то, что игрок В этого не заметит. Конечно, заметит и не преминет воспользоваться своим наблюдением. Ясно, что в этом случае он отдаст предпочтение стратегии Вг А на выбор Аь игрок В ответит, например, так - Bg. В результате отказа от стратегии Ag выигрыш игрока А уменьшится. Если же от стратегии Bopt отказывается игрок В, выбирая, например, стратегию Д., то игрок А может ответить на это стратегией Аь и, тем самым, увеличить свой выигрыш. В случае стратегии Bg ответ игрока А - Аг Тем самым, ситуация {Ag, Bb} оказывается равновесной. Еще раз подчеркнем, что элементами матрицы игры являются числа, описывающие выигрыш игрока А. Более точно, выигрыш соответствует положительному элементу платежной матрицы, а отрицательный указывает на проигрыш игрока А. Матрица выплат игроку В получается из матрицы игры заменой каждого ее элемента на противоположный. Рассмотрим теперь произвольную матричную игру
(строки заданной т х л-матрицы соответствуют стратегиям игрока А, а столбцы - стратегиям игрока В) и опишем общий алгоритм, посредством которого можно определить, есть ли в этой игре ситуация равновесия или ее нет. В теории игр предполагается, что оба игрока действуют разумно, то есть стремятся к получению максимального выигрыша, считая, что соперник действует наилучшим для себя образом. А. Действия игрока А. 1-й шаг. В каждой строке матрицы А отыскивается минимальный элемент атта / = 1,2,т. Полученные числа а а2, ат приписываются к заданной таблице в виде правого добавочного столбца 11 12 21 22 ат\ т2 1/1 2/, 1 2 Пояснение. Выбирая стратегию Ah игрок А рассчитывает на то, что в результате действий противника (игрока В) он выиграет не меньше чем 2-й шаг. Среди чисел выбирается максимальное число а = maxa; maxmin я,.. / 1 / к ш Подчеркнем, что число а является одним из элементов заданной матрицы А 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 [ 43 ] 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 |