Промышленный лизинг Промышленный лизинг  Методички 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 [ 43 ] 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92

Попробуем определить оптимальные стратегии каждого из игроков.

Начнем с последовательного анализа стратегий игрока Л, не забывая о том, что, выбирая стратегию, игрок А должен принимать в расчет, что его противник В может ответить на нее той из своих стратегий, при которой выигрыш игрока А будет минимальным. Так, на стратегию Аг он ответит стратегией Вг (минимальный выигрыш равен -2, что на самом деле означает проигрыш игрока А, равный 2), на стратегию Ag - стратегией Bg или Вь (минимальный выигрыш игрока А равен 1), а на стратегию Аь - стратегией Bg (минимальный выигрыш игрока А равен -3).

Запишем эти минимальные выигрыши в правом столбце таблицы

maxmin. Ясно, что игроку А разумно остановить свой выбор на стратегии Ag, при которой его минимальный выигрыш максимален (из трех чисел -2, 1 и -3 максимальным является 1), maxmin = 1, и при любом поведении противника ему гарантирован выигрыш, не меньший 1.

Аналогичные рассуждения можно провести и за игрока В. Так как игрок В заинтересован в том, чтобы обратить выигрыш игрока Л в минимум, ему нужно проанализировать каждую свою стратегию с точки зрения выигрыша игрока А.

Выбирая свою стратегию, игрок J? должен учитывать, что стратегией его противника А может оказаться та, при которой выигрыш игрока А будет наибольшим. Так, на стратегию Вг он ответит стратегией Аь (выигрыш игрока А равен 3), на стратегию Bg - стратегией Аг (выигрыш игрока А равен 2), а на стратегию Вь - стратегией Лили Аь (выигрыш игрока А равен 1).

Эти выигрыши записаны в нижней строке таблицы



minmax. Неудивительно, если игрок В остановит свой выбор на стратегии Вь, при которой максимальный выигрыш игрока А минимален (из трех чисел 3, 2 и 1 минимальным является 1), minmax = 1, и при любом поведении противника он проиграет не больше 1.

В рассматриваемой игре числа maxmin и minmax совпали:

maxmin = minmax = 1 (соответствующие элементы в таблице

выделены жирным шрифтом).

Стратегии Ag и Вь являются оптимальными стратегиями игроков А и

Ag - Aopt, Bj, = Bopty

в следующем смысле:

при многократном повторении игры отказ от выбранной стратегии любым из игроков уменьшает его шансы на выигрыш (увеличивает шансы на проигрыш).

В самом деле, если игрок А будет придерживаться не стратегии Д а выберет иную стратегию, например Ап то вряд ли стоит рассчитывать на то, что игрок В этого не заметит. Конечно, заметит и не преминет воспользоваться своим наблюдением. Ясно, что в этом случае он отдаст предпочтение стратегии Вг А на выбор Аь игрок В ответит, например, так - Bg. В результате отказа от стратегии Ag выигрыш игрока А уменьшится.

Если же от стратегии Bopt отказывается игрок В, выбирая, например, стратегию Д., то игрок А может ответить на это стратегией Аь и, тем самым, увеличить свой выигрыш. В случае стратегии Bg ответ игрока А - Аг

Тем самым, ситуация {Ag, Bb} оказывается равновесной.

Еще раз подчеркнем, что элементами матрицы игры являются числа, описывающие выигрыш игрока А. Более точно, выигрыш соответствует положительному элементу платежной матрицы, а отрицательный указывает на проигрыш игрока А. Матрица выплат игроку В получается из матрицы игры заменой каждого ее элемента на противоположный.

Рассмотрим теперь произвольную матричную игру



аа .

<>2п

(строки заданной т х л-матрицы соответствуют стратегиям игрока А, а столбцы - стратегиям игрока В) и опишем общий алгоритм, посредством которого можно определить, есть ли в этой игре ситуация равновесия или ее нет.

В теории игр предполагается, что оба игрока действуют разумно, то есть стремятся к получению максимального выигрыша, считая, что соперник действует наилучшим для себя образом.

А. Действия игрока А.

1-й шаг. В каждой строке матрицы А отыскивается минимальный элемент

атта / = 1,2,т.

Полученные числа

а а2, ат

приписываются к заданной таблице в виде правого добавочного столбца

11 12 21 22

ат\ т2

1/1 2/,

1 2

Пояснение. Выбирая стратегию Ah игрок А рассчитывает на то, что в результате действий противника (игрока В) он выиграет не меньше чем

2-й шаг. Среди чисел

выбирается максимальное число

а = maxa; maxmin я,.. / 1 / к ш

Подчеркнем, что число а является одним из элементов заданной матрицы А



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 [ 43 ] 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92