Промышленный лизинг
Методички
Рис. 10 Рис. 11 тельным наклоном (к-ю) и прямую с наибольшим отрицательным наклоном (/-я). Каждая из этих прямых содержит звено нижней огибающей (рис. 11). Оптимальная смешанная стратегия игрока В получается, если положить Я*к = Я> 0/*=1-0, 0У*=О, j*k, где q - решение уравнения а1кЯ + 1/0 - Я) = <*2кЯ + 2/0- Я\ 3) р = 0 (оптимальная стратегия игрока Л - это его чистая стратегия А2). Тогда игроку В выгодно применять чистую стратегию 1*, соответствующую номеру к* прямой, проходящей через точку (0, v) и имеющей наибольший отрицательный наклон (рис. 12). 4) р* = 1 (оптимальная стратегия игрока А - это его чистая стратегия Af). Тогда оптимальной для игрока В является чистая стратегия 1., соответствующая номеру к* прямой, проходящей через точку (1, v) и имеющей наибольший положительный наклон (рис. 13). В. Нижняя огибающая содержит горизонтальный участок, соответствующий чистой стратегии 1. игрока Д которая и является оптимальной для него (рис. 14). Замечание. Ситуацию с наличием лишь двух конкурирующих стратегий игрока А нельзя считать надуманной. Она возникает сравнительно часто. Например, в случае, если нужно сравнить два образца некоторого изделия (скажем, старого и модернизированного) с целью выяснения возможности замены, это весьма удобно сделать при помощи матрицы 2 х л-игры.
Рис. 14 т х 2-игры Пусть теперь в матричной игре две чистые стратегии имеет игрок Д а число чистых стратегий у игрока А произвольно (равно т). Это означает, что матрица игры имеет вид \ат\ Есть два способа решения этой игры: 1) путем применения рассуждений, во многом напоминающих те, что описаны для 2 х л-игры, 2) путем непосредственного сведения к 2 х л-игре. Способ 1-й. Пусть Q = {q, 1 - q) - произвольная смешанная стратегия игрока В. Если игроке выбирает 1-ю чистую стратегию, /=1,2,т, то средний выигрыш игрока В в ситуации {1ь Q} будет равен (i):w = auq + at2(l-q), /=1,2,...,т. (*) Зависимость этого выигрыша от переменной q описывается прямой. Графиком функции max(anq + ai2(l-q)) Абсциссой нижней точки по- w лученной ломаной будет значение д\ определяющее оптимальную смешанную стратегию игрока Ву а ординатой v - значение игры. Замечание. Отыскание оптимальной смешанной стратегии игрока А проводится по той же схеме, которая позволяет нахо- Рис 15 дить оптимальную смешанную стратегию игрока В в 2 х л-игре. Способ 2-й. Рассмотрим 2 х /и-игру с матрицей А, которая получается из матрицы А т х 2-игры путем транспонирования и замены всех элементов на противоположные: aik=-aik, 1 = 1,..., m; /г = 1,...,л. Игрок А в этой новой игре имеет все те же интересы, что и игрок В в исходной игре, а интересы игрока В полностью совпадают с интересами игрока А исходной игры. Найденные стратегии игроков А и В суть стратегии игроков В и А соответственно. Что.касается значения v новой игры, то оно противоположно значению v исходной игры, v = -v. т х л-игры В принципе решение любой матричной игры сводится к решению стандартной задачи линейного программирования и, тем самым, может быть найдено соответствующими методами. При этом требуемый объем вычислений напрямую зависит от числа чистых стратегий игроков (растет с его увеличением и, значит, с увеличением размеров матрицы А игры). Поэтому любые приемы предварительного анализа игры, позволяющие уменьшать размеры матрицы игры или еще как-то упрощать эту матрицу, не нанося непоправимого ущерба решению, играют на практике весьма важную роль. Правило доминирования В целом ряде случаев анализ платежной матрицы обнаруживает, что Некоторые чистые стратегии не могут внести никакого вклада в искомые оптимальные смешанные стратегии и потому их можно не принимать 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 [ 50 ] 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 |