в расчет. Отбрасывание подобных стратегий позволяет заменять первоначальную матрицу игры на матрицу меньших размеров.

Опишем одну из таких возможностей более подробно.

Будем говорить, что /-я строка т х л-матрицы А

не больше j-й строки этой матрицы

ап ап - внесли одновременно выполнены следующие п неравенств

atl-ajl> °12аЯ> > ainajn-

При этом говорят также, что у-я строка доминирует /-ю строку, или что стратегия А} игрока А доминирует стратегию At.

Замечание. Игрок Л поступит разумно, если будет избегать стратегий, которым в матрице игры отвечают доминируемые строки.

Если в матрице А одна из строк (/-я) доминирует другую строку (/-ю), то число строк в матрице А можно уменьшить путем отбрасывания доминируемой строки (1-Й).

Далее, будем говорить, что к-й столбец матрицы А

°2k

не меньше /-го столбца этой матрицы

<*г,

если одновременно выполнены следующие т неравенств

При этом говорят также, что /-й столбец доминирует к-й столбец или что стратегия Bt игрока В доминирует стратегию Вк.

Замечание. Игрок В поступит разумно, если будет избегать стратегий, которым в матрице игры отвечают доминируемые столбцы.

Если в матрице А один из столбцов (/-й) доминирует другой столбец (jfc-й), то число столбцов в матрице А можно уменьшить путем отбрасывания доминируемого столбца (к-то).

Важное замечание. Оптимальные смешанные стратегии в игре с матрицей, полученной усечением исходной за счет доминируемых строк и столбцов, дадут оптимальное решение и в исходной игре; при этом доминируемые чистые стратегии игроков в смешении не участвуют - соответствующие им вероятности следует взять равными нулю.

Пример 5. Рассмотрим игру с матрицей

О 2 1\ О 1 О 2 1-1-2 ,-1 0 2 1,

Сравнивая строки матрицы, видим, что 1-я строка совпадает с 4-й строкой, или, что то же, стратегия А4 дублирует стратегию Ах.

Это позволяет, не нанося ущерба решению, одну из этих строк вычеркнуть

О 2 1

0 1 О

1 -1 -2

-1 -2

-1 -2 2

Поэлементно сравнивая 1-ю и 2-ю строки полученной матрицы, замечаем, что 1-я строка доминирует 2-ю строку, или, что то же, стратегия А\ доминирует стратегию А2. Это вновь позволяет уменьшить число строк матрицы -

М 0 2 Л 2 1 -1 -2J

Замечая, что 4-й столбец полученной матрицы доминирует ее 3-й столбец, приходим к игре с 2 х 3-матрицей

М 0 1\ 2 1 -2/

Решая эту 2 х 3-игру наглядно-графическим методом, находим ее решение - значение игры и оптимальные смешанные стратегии игроков А и В

Возвращаясь к исходной 4 х 4-игре, получаем окончательный ответ: v = 0, Р =-

Замечание. При отбрасывании доминируемых строк и столбцов некоторые из оптимальных стратегий могут быть потеряны. Однако значение игры не изменится, и по усеченной матрице может быть найдена хотя бы одна пара оптимальных смешанных стратегий.

Аффинное правило

Если элементы матриц А и С связаны равенствами с* = Лв*+Л / = 1,2,...,/и; £ = 1,2,...,л,

где Я > 0, а/г - произвольно, то оптимальные стратегии у соответствующих матричных игр имеют одинаковые равновесные ситуации (либо в чистых, либо в смешанных стратегиях), а их значения удовлетворяют следующему условию

Пример 6. Элементы матриц

4J * 4 с=(

5 8 8 -1

связаны равенствами

сЛ=3-0л + 5, /=1,2; к= 1,2,3. Поэтому значение игры с матрицей С легко вычисляется: vc =3-vA +5=3-0 + 5 = 5

(см. пример 5).

Основные этапы поиска решения матричной игры

1-й этап - проверка наличия (или отсутствия) равновесия в чистых стратегиях (при наличии равновесной ситуации указываются соответствующие оптимальные чистые стратегии игроков и значение игры).

2-й этап - поиск доминирующих стратегий и (в случае успеха этого поиска) отбрасывание доминируемых строк и столбцов в исходной матрице игры.

3-й этап - замена игры на ее смешанное расширение и отыскание оптимальных смешанных стратегий и значения игры.