Если страна А выберет стратегию Ах, а страна В - стратегию В2, то вновь один самолет достигнет цели и вероятность разрушения моста будет равна 1.

Если страна А выберет стратегию А2, а страна В - стратегию В2, то страна А с вероятностью 1/2 выберет маршрут, на котором установлены зенитки, и, следовательно, цель будет уничтожена с вероятностью 1/2.

Подведем итоги проведенного анализа в стандартной игровой форме:

При помощи наглядно-графического метода получаем оптимальные смешанные стратегии игроков и значение игры

Это означает, что если страна А будет посылать самолеты по разным маршрутам в течение десяти дней из тридцати, отпущенных на войну (и, значит, по одному маршруту в течение двадцати дней), то в среднем страна А будет иметь 66,7% удачных исходов (мост будет находиться в нерабочем состоянии). Воспользовавшись для своих зениток предложенным выбором, страна В не позволит бомбить мост чаще, чем в 33,3% случаев.

5.1.5. Некоторые итоги

на 1.

Если самолет доберется до цели, то мост будет уничтожен. Тем самым, у страны А есть две стратегии:

послать самолеты по разным маршрутам - Аи

послать самолеты по одному маршруту - А2. У страны В также две стратегии:

поместить зенитки на разных маршрутах - Вь

поместить зенитки на одном маршруте - В2.

Если страна А выберет стратегию Аи а страна В - стратегию Ви то страна А получит нулевой выигрыш, так как ни один из самолетов не достигнет цели.

Если страна А выберет стратегию Аъ а страна В - стратегию Ви то один самолет достигнет цели и вероятность разрушения моста будет рав-

роной. При этом наибольший интерес представляет случай, когда игра не заканчивается сразу же после совершения игроками одной такой пары одновременных ходов, а повторяется многократно, причем считается, что перед каждым возобновлением игры игроки не получают никаких новых сведений ни о конфликте, ни о возможных действиях противной стороны. Иными словами, при многократном повторении матричной игры каждая из сторон всякий раз оказывается перед выбором некоторой стратегии из одного и того же множества стратегий, неизменного у каждого из игроков.

Тем не менее, в таких многократно повторяющихся обстоятельствах большую роль играет анализ игры, как предварительный, так и промежуточный.

В результате разумно проведенного предварительного анализа матричной игры заинтересованная в нем сторона может определить свою линию поведения (правило выбора стратегий) на всю серию игр.

Конечно, описанный нами выше максиминный подход является далеко не единственным средством. Однако не следует забывать, что принципиальной особенностью этого подхода является то обстоятельство, что игрок, придерживающийся выводимого на его основе правила выбора стратегий, заранее может довольно точно оценить нетривиальные размеры своего гарантированного среднего выигрыша. Кроме того, максиминный подход позволяет сводить задачу поиска решения игры к рассмотрению сравнительно несложных задач линейного программирования и, тем самым, получать эффективные рекомендации по тому, как лучше выбирать стратегии в конкретной игре при многократном ее повторении.

Если игра повторяется много раз, то некоторые дополнительные сведения - какие именно стратегии выбирает противная сторона и какими правилами выбора стратегий она руководствуется - игрок все же получает. На основании этих сведений и результатов предварительного анализа игры он может довольно точно оценивать противника. И если тот не придерживается компромиссного минимаксного подхода, внести соответствующие изменения в собственную линию поведения и увеличить выигрыш.

5.2. Биматричные игры

Предыдущие рассмотрения касались игр двух лиц, в которых интересы игроков были прямо противоположны. Однако ситуации, в которых интересы игроков хотя и не совпадают, но уже не обязательно являются противоположными, встречаются значительно чаще.

Рассмотрим, например, конфликтную ситуацию, в которой каждый из двух участников имеет следующие возможности для выбора своей линии поведения -

игрок А может выбрать любую из стратегий Аи Ат

игрок В может выбрать любую из стратегий Ви В .

При этом всякий раз их совместный выбор оценивается вполне определенно: если игрок Л выбрал /-ю стратегию Аи а игрок В - к-ю стратегию Вк, то выигрыш игрока А равен некоторому числу aik, а выигрыш игрока В некоторому, вообще говоря, другому числу bik.

Иными словами, всякий раз каждый из игроков получает свой приз.

Последовательно перебирая все стратегии игрока А и все стратегии игрока Ву мы сможем заполнить их выигрышами две таблицы

Первая из таблиц описывает выигрыши игрока А9 вторая - выигрыши игрока В. Обычно эти таблицы записывают в виде матриц

Здесь А - платежная матрица игрока А, а В - платежная матрица игрока В.

При выборе игроком А i-й стратегии, а игроком В - k-й стратегии их выигрыши находятся в матрицах выплат на пересечении /-х строк и к-х столбцов: в матрице А это элемент aik> а в матрице В - элемент bik.

Таким образом, в случае, когда интересы игроков различны (но не обязательно противоположны), получаются две платежные матрицы: одна - матрица выплат игроку А, другая - матрица выплат игроку В. Поэтому совершенно естественно звучит название, которое обычно присваивается подобной игре, - биматричная.