(1) (2)

(1) (2)

(1) (2)

2 О

(1) (2)

1 О

Пояснение. Ясно, что различные конфликтные ситуации могут иметь одну и ту же формализацию. В частности, рассмотренная биматричная игра часто интерпретируется, как одновременный выбор молодыми супругами совместного развлечения: посещение оперного спектакля или хоккейного матча. При этом обычно считается, что в посещении оперного театра жена заинтересована в большей степени, чем муж, а при посещении стадиона наблюдается обратная картина. В случае же непреодоления разногласий, возникших при выборе, день оказывается вообще испорченным.

Отсюда и название, вынесенное в заголовок.

5.2.2. Смешанные стратегии

В приведенных примерах (позже мы вернемся к подробному рассмотрению каждого) описаны ситуации, в которых интересы игроков не совпадают. Естественно встает вопрос о том, какие рекомендации необходимо дать игрокам для того, чтобы моделируемая конфликтная ситуация разрешилась.

Иными словами, что мы будем понимать под решением биматрич-ной игры?

Попробуем ответить на этот вопрос так: вследствие того что интересы игроков не совпадают, нам нужно построить такое (компромиссное) решение, которое бы в том или ином, но в одинаковом смысле удовлетворяло обоих игроков.

Не пытаясь сразу выразить эту мысль точно, попробуем найти некую равновесную ситуацию, явное отклонение от которой одного из игроков уменьшало бы его выигрыш.

Кстати, подобный вопрос мы ставили и при рассмотрении матричных игр. Напомним, что возникающее при разработке минимаксного подхода понятие равновесной ситуации приводило нас к поиску седловой точки, которая, как оказалось, существует далеко не всегда; конечно, если ограничиваться только чистыми стратегиями игроков А и В, т. е. стратегиями

Начнем с определения равновесной ситуации. Ситуация (Г, к ) биматричной игры называется ситуацией равновесия, если

i = l,...,m, ЬГк<,ЪГк., к = 1,...,п.

В ифе Семейный спор две равновесные ситуации - (1, 1) и (2, 2). В игре Дилемма заключенного одна - (1, 1).

Заметим, что (в отличие от матричной) в биматричной игре при наличии нескольких ситуаций равновесия выигрыши игроков различаются.

Пример. Найдем все равновесные ситуации в биматричной игре

2 4 2 1

3 -2 1 2

-1\ 4 4

В = -А =

7 4 -3

В матрице А подчеркнуты наибольшие элементы в столбцах, а в матрице В - наибольшие элементы в строках. Общий подчеркнутый элемент соответствует позиции (3, 3) - единственной ситуации равновесия.

Как и в случае матричных игр, в биматричных играх ситуация равновесия существует далеко не всегда. В матричных играх эта трудность была преодолена путем перехода к смешанному расширению игры, то есть к возможности ее многократного повторения и такому поведению игроков, при котором они чередуют свои (чистые) стратегии с определенными частотами:

игрок А стратегии Аи Ат с частотами ри рт где

А.* О, =1,

Вп с частотами ди qm где

Л>0, а игрок В стратегии Д,

дх>0, qn>0, 2A=L

Смешивание стратегий приводило к расширению возможности выплат в том смысле, что расчет строился из вычисления средних выигрышей игроков А и Д которые определялись по элементам платежной матрицы А и вероятностям pt и qk,

И оказалось, что в смешанных стратегиях равновесная ситуация существует всегда.

Поэтому, рассматривая биматричные игры, разумно также попробовать перейти к смешанным стратегиям игроков, предполагая тем самым, что каждая игра может быть многократно повторена в неизменных обстоятельствах.

При смешанных стратегиях в биматричных играх так же естественно возникают средние выигрыши игроков А к В, вычисляемые по правилам, в которых уже нет и следа какой-нибудь дискриминации игрока В,

В результате получается смешанное расширение биматричной игры.

Определение. Ситуация {Р*, Q*} называется ситуацией равновесия в смешанных стратегиях биматричной игры, если для любых Р и Q выполняются неравенства

Выписанные неравенства можно пояснить так: ситуация {Р*, Q*} является равновесной, если отклонение от нее одного из игроков при условии, что другой сохраняет свой выбор, приводит к тому, что выигрыш отклонившегося игрока не может увеличиться (а скорее только уменьшится). Тем самым, получается, что если равновесная ситуация существует, то отклонение от нее невыгодно самому игроку.

ТЕОРЕМА (Дж. Нэш). Всякая биматричная игра имеет хотя бы одну равновесную ситуацию (точку равновесия) в смешанных стратегиях.

Замечание. Эта теорема является частным случаем более общего утверждения, доказательство которого было опубликовано Дж. Нэшем в 1950 году (см. ([5], сс. 16-26).

Так же, как и в случае матричных игр, для поиска равновесных ситуаций нам будут полезны несколько несложно доказываемых утверждений.

ЛЕММА. Для того чтобы ситуация {Р\ Q*} была ситуацией равновесия в смешанных стратегиях биматричной игры, необходимо и достаточно, чтобы для любых /=1,...,/ииА:=1,...,л выполнялось условие

НА(Р, СП < НА(?\ Q*), Я*(Р*, Q) Н?\ СП.

HA(h СП Н/Г, СП, НВ(Р\ lk) < #д(Р\ Q*).