НА(Т>9 СП £ НА(Р\ СП

для любого Р. Полагая Р = 1 получим неравенства-условия для матрицы А. Для матрицы В соответствующие неравенства выводятся так же просто.

Достаточность. Пусть выполнено условие

Нл(\ь СП < НА(Г, СП, яр-, у < НГ, СП-

Возьмем произвольную смешанную стратегию Р игрока А, домно-жим неравенства

HA(h (Г)*НА(Г, Q*), ту

на и сложим. Учитывая, что

получаем в результате неравенство

НА(?9 Q-) < HA(V\ Q-). Подобным же образом доказывается справедливость неравенства НГ, Q) < И/Г, Q*).

Сформулируем два утверждения, которые обобщают на случай биматричных игр теорему 3 предыдущего раздела и следствие из нее, а их доказательства практически повторяют доказательства соответствующих утверждений для матричных игр.

ТЕОРЕМА. Пусть {Р*, Q*} - ситуация равновесия в смешанных стратегиях биматричной игры. Тогда из того, что р\ > О, вытекает равенство

и/\ь СП = н/Г, СП, а из того, что q\ > О, - равенство

Н/?\ 1,) = H/F, Q*).

Следствие. Пусть {Р*, Q*} - ситуация равновесия в смешанных стратегиях биматричной игры. Тогда из того, что

Е/\ь Q-) < Н/Г, Q*), вытекает равенство р\ = 0, а из того, что

Н/Р\ \к) < НГ, Q*), -

равенство q\ = 0.

Эффективность сформулированных утверждений в деле поиска решения биматричных игр мы покажем в следующем параграфе.

5.2.3. 2 х 2-биматричные игры

Мы предполагаем уделить основное внимание случаю, когда у каждого из игроков имеется ровно две стратегии, т = п = 2, и при поиске решения можно воспользоваться наглядно-графическим методом.

В 2 х 2-биматричной игре платежные матрицы игроков имеют вид

А = А />2 =!-/>, Ях = Я, 02=!- а средние выигрыши вычисляются по формулам

Нл (p,q) = ап pq + al2p(l-q) + a2l (1- p)q + a22 (1- p)(l-q\ HB (p,q) = bn pq + bl2p(l- q) + b2l (1- p)q + b22 (1- />)(!- q\

Ситуация равновесия

Сформулируем основное определение равновесия для рассматри ваемого здесь случая 2 х 2-биматричной игры. Определение. Будем говорить, что пара чисел

определяет равновесную ситуацию, если для любых р и q, подчиненных условиям 0</?<1, 0<#<1, одновременно выполнены следующие неравенства:

Но как найти равновесную ситуацию, зная, что она существует?

Если некоторая пара чисел (р\ q*) претендует на то, чтобы определять ситуацию равновесия, то для того чтобы убедиться в обоснованности этих претензий или, наоборот, доказать их несостоятельность, необходимо проверить справедливость неравенств (*) для любого р в пределах от 0 до 1 и для любого q в пределах от 0 до 1. Сформулировав

вероятности -

0 </?< 1, 0<q<L

(p\q\ 0 </> <!, 0<<?*<1

НА(р, q) < НА(р\ q), Н/р, q) < Htf9 q). (*)

доказанную выше лемму для рассматриваемого случая, мы увидим, что число таких проверок можно существенно сократить. ТЕОРЕМА. Выполнение неравенств

Нл(р, q) < Нл(р\ q), Нв(р\ д) < Нв(р\ q) <*)

равносильно выполнению неравенств

HA{0,q)<HA{p\q), HB{pfi)<HB(p\q\ (}

HA{\,q)<HA{p\q), HB(p\l)< HB{p\q).

Иными словами, для того чтобы убедиться в обоснованности посягательств пары (/?*, gr*) на то, чтобы определять равновесную ситуацию, достаточно проверить справедливость неравенства

НА(р, q) < НА(р\ q)

только для двух чистых стратегий игрока А (при р = 0 и при р = 1) и неравенства

Нв(р\ q) < Нв(р\ q),

только для двух чистых стратегий игрока В (при q = 0 и при q = 1).

Четыре неравенства (-А-А-) позволяют провести поиск точки равновесия уже вполне конструктивно.

Запишем средние выигрыши игроков А и В в более удобной форме. Имеем

НА (p,q) = (ап - ап - a2l + а22 )pq + (а12 - а22 )р + (a2l - а22 )q + а22, Нв (p,q) = Фп- bl2 - Ь21 + Ъ22 )pq + (bl2 - b22 )р + (b2l - b22 )q + b22.

Обратимся к первой из этих формул. Полагая в ней сначала р = 1, а потом = О, получаем, что

НА (1, я) = (вп - а12 - я 21 + а22 )q + я 12 + (a2l - я 22 )$r, Я(0, q) = (a2l-a22)q + a22.

Рассмотрим разности

HA(p, q)-HA(l, q) = (an-al2-a2l +a22)pq + (al2-a22)p-

~ fl12 fl21 + °22 )Я + 22 ~ °12 >

Я(/?, q)-HA(0, q) = (an -*al2-a2l +a22)pq + (al2-a22)p. Вводя обозначения

С = яп -al2-a2l +a22, a = a22-al2,